Приклад 9. Матеріальна точка масою кинута з початковою швидкістю під кутом до горизонту

Матеріальна точка масою кинута з початковою швидкістю під кутом до горизонту. Знайти рух цієї точки в просторі під дією сили земного тяжіння, тобто визначити модуль вектора переміщення для моменту часу та знайти рівняння траєкторії.

Дано:

Розв’язування

Для спрощення початкове положення тіла приймемо за початок координат системи відліку, зв’язаного з поверхнею Землі. Систему координат розмістимо так, щоб початкова швидкість знаходилась у площині YOZ, вісь Z спрямуємо вертикально вгору, а вісь Y – горизонтально.

На точку А діє лише сила земного тяжіння . За такого вибору системи координат проекції сили на осі координат дорівнюватимуть: , .

Початковими кінематичними характеристиками руху точки будуть:

.

З цих умов диференціальними рівняннями руху точки є:

.

Cкоротивши ліві і праві частини наведених рівнянь на , дістанемо:

.

Проінтегруємо перше з цих рівнянь:

.

Оскільки . Тобто проекція швидкості на вісь Х є величина стала під час руху точки. Оскільки в початковий момент часу , то . Врахувавши це отримаємо: , звідки . Для початкового моменту часу .

Отже, розв’язок першого диференціального рівняння – це .

З другого диференціального рівняння знаходимо . . Проінтегрувавши останнє рівняння, отримаємо

. З початкових умов випливає, що . Тоді розв’язок другого диференціального рівняння має вигляд: .

Проінтегрувавши третє рівняння , дістанемо: . Константу визначаємо з початкових умов. При , . Отже, . Проінтегруємо отримане рівняння: . З початкових умов при , .

Розв’язком третього диференціального рівняння є:

.

Отже, кінематичні рівняння руху точки в параметричній формі такі:

, , .

Модуль вектора переміщення .

Виключивши з цих рівнянь параметр , знайдемо рівняння траєкторії даної матеріальної точки в координатах:

.

Згідно з цим рівнянням, матеріальна точка, кинута під кутом до горизонту, на яку діє лише сила земного тяжіння, рухається по параболі.

Відповідь: 480, 31 м;