Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Алтыншы тарау




Нүктенің күрделі қозғалысы. Негізгі түсініктер мен анықтамалар. Вектордың толық және локальдық туындылары. Олар арасындағы байланыс. Нүктенің күрделі қозғалысындағы оның жылдамдығы мен үдеуін қосу теоремалары. Кориолис үдеуі

Алтыншы тараудың мақсаты: Нүктенің күрделі қозғалысына тиісті негізгі ұғымдар мен анықтамаларды беру. Вектордың толық және локальды туындыларының арасындағы қатынасты құру. Нүктенің күрделі қозғалысы үшін жылдамдық пен үдеуді қосу теоремаларын дәлелдеу. Бақылау сұрақтарының тізімін келтіру. Тараудың тақырыптарына тиісті теорияны, есептерді шешу үшін қолдану. Оқу-әдістемелік нұсқауларды беру.

 

§6.1. Нүктенің күрделі қозғалысы. Нүкте қозғалысының салыстырмалы, тасымалды және абсолютты ұғымдары.

Жоғарыда біз нүктенің қозғалмайтын бір санақ жүйесіне қатысты қозғалысын қарастырған едік. Бірақ механиканың кейбір есептерін шешкен кезде нүктенің қозғалысын зерттеу үшін бір санақ жүйесі жеткіліксіз болады. Мұндайда қозғалмайтын және қозғалмалы екі санақ жүйесі қабылдап алынады. Бұл кездегі нүктенің қозғалысын құрама немесе күрделідеп санайды. Мысалы, қозғалып бара жатқан поезд ішіндегі адамның қозғалысы, ұшып бара жатқан самолет қалағының қозғалысы, өзендегі моторлы қайықтың қозғалысы және т.т. нүктенің күрделі қозғалысына жатады.

 

х

 

 

 

 

 

Сурет

 

 

Бірер-бір М нүкте денеге қатты бекітілген қозғалмалы хОуz координаттар жүйесіне қатысты қозғалып бара жатқан болсын. Ал сонымен қатар, қозғалмалы хОуz координаттар жүйесінің өзі басқа бір қозғалмайтын санақ жүйесі х1О1у1z1 ге қатысты қозғалсын (6.1-сурет).



Төмендегідей анықтамалар енгізейік.

1. Қозғалмайтын санақ жүйесіне қатысты М нүктенің қозғалысын оның абсолют қозғалысы деп атайды. Бұл нүктенің жылдамдығы мен үдеуін сәйкес оның абсолют жылдамдығы мен абсолют үдеуі деп атап, оларды және әріптермен белгілейді.

2. Қозғалмалы санақ жүйесіне қатысты М нүктенің қозғалысын оның салыстырмалы қозғалысы деп атайды. Бұл нүктенің салыстырмалы қозғалысы кезіндегі жылдамдығы мен үдеуін сәйкес оның салыстырмалы жылдамдығы мен салыстырмалы үдеуі деп атап, оларды мен әріптермен белгілейді.

3. Қозғалмалы хОуz координаттар жүйесінің және онымен бірге қатты бекітілген дененің қозғалмайтын х1О1у1z1 санақ жүйесіне қатысты қозғалысы М нүкте үшін тасымалды қозғалыс деп аталады. Нүктенің қозғалмалы санақ жүйесімен байланысты жылдамдығы мен үдеуі оның тасымалды жылдамдығы мен тасымалды үдеуі деп аталып, оларды сәйкес және әріптермен белгілейді.

Жоғарыда келтірілген поезд ішінде қозғалып бара жатқан адамның поездға қатысты, самолет қалағының самолетке қатысты, қайықтың ағып жатқан өзенге қатысты қозғалыстары салыстырмалы, ал поездың станцияға қатысты, самолеттің жерге қатысты, өзеннің жағаға қатысты қозғалыстары тасымалды қозғалыстар деп аталады. Сонымен қатар, поезд ішіндегі адамның станцияға қатысты, самолет қалағының жерге қатысты, қайықтың жағаға қатысты қозғалыстары абсолюттік қозғалысқа жатады. Келтірілген мысалдардан сезгеніміз, абсолюттік қозғалыс салыстырмалы және тасымалды қозғалыстардан тұратын күрделі қозғалыс екен.



Сонымен, нүктенің күрделі қозғалысын үйрену оның салыстырмалы, тасымалды және абсолюттік қозғалыстарын зерттеп алып, оның жылдамдықтары мен үдеулерінің арасындағы байланыстарды табу болып есептелінеді.

§6.2. Вектордың толық және локальдық туындыларының арасындағы байланыс

Бірер-бір векторды мына түрде өрнектейік:

,

мұндағы – қозғалмалы координаттар жүйесінің бірлік векторлары, яғни орталары; вектордың сәйкес қозғалмалы координаттар жүйесіне болған проекциялары.

Анықтама. 1) Қозғалмайтын координаттар жүйесінде векторынан уақыт бойынша алынған туынды оның осы жүйеде қалай өзгеруін сыйпаттайтын шама болып, вектордың толық (абсолют) туындысы деп аталады. Ол әдетте белгіленеді. 2) Қозғалмалы координаттар жүйесінде векторынан уақыт бойынша алынған туынды оның осы жүйеде қалай өзгеруін сыйпаттайтын шама болып, вектордың локальды (салыстырмалы) туындысы деп аталады. Ол әдетте белгіленеді.

Ескерту. Қозғалмалы координаттар жүйесі үшін бірлік векторлары тұрақты шамалар болса, қозғалмайтын координаттар жүйесі үшін бұл векторлардың бағыттары өзгеріп отырады. Сондықтан, векторының уақыт бойынша алынған толық туындысы мына өрнекке тең:

.

Сонымен қатар векторынан уақыт бойынша алынғанлокальды туындыны келесі өрнектен табамыз:

.

Бұдан өзге,

екенін еске алсақ, онда Пуассон формуласына келеміз:

.

Олай болса,

.

Осы табылғандарды қолдана отырып, векторының толық туындысын мына көрініске келтіреміз:

, (6.1)

яғни берілген вектордың уақыт бойынша алынған толық туындысы осы вектордың уақыт бойынша алынған локальды туындысы мен қозғалмалы координаттар жүйесінің бұрыштық жылдамдығының вектормен болған векторлық көбейтіндісінің геометриялық қосындысына тең.

§6.3. Нүктенің күрделі қозғалысы кезіндегі оның жылдамдықтарын қосу теоремасы

 

Ø Теорема. Нүктенің күрделі қозғалысы кезіндегі оныңабсолют жылдамдығы салыстырмалы және тасымалды жылдамдықтардың геометриялық қосындысына тең, яғни:

. (6.2)

Дәлелі. Бірер-бір М нүктесі қозғалмалы хОуz координаттар жүйесіне қатысты қозғалып бара жатқан болсын. Сонымен қатар, қозғалмалы хОуz координаттар жүйесі сол нүктемен бірге қозғалмайтын х1О1у1z1 координаттар жүйесіне қатысты қозғалсын. Егер біз 6.2-суретте көрсетілгендей , , радиус-векторларын жүргізсек, онда .

 
 


 

 

 

 

 

 

6.2-сурет

 

Осы векторлық теңдікті дифференциалдасақ, табатынымыз:

.

Бұл жердегі . Егер (6.1) өрнекті ескерсек, онда

,

мұнда . Осылардың бәрін еске алсақ, онда

. (6.3)

Анықтама бойынша тасымалды жылдамдық қозғалмалы санақ жүйесімен байланысты болған нүктенің берілген уақыттағы жылдамдығы. Сондықтан да жылдамдығын анықтау үшін қозғалып бара жатқан нүктені қозғалмалы санақ жүйесімен қозғалмайтындай етіп бекітеміз, яғни (6.3) өрнегінде деп есептейміз. Онда:

. (6.4)

Бұл кезде (6.3) өрнегі мына көрініске ие болады:

.

Осыны дәлелдеу керек еді.

Сонымен, нүктенің салыстырмалы, тасымалды жылдамдықтары және олардың арасындағы a бұрышы белгілі болса, онда оның абсолют жылдамдығының модулі осы жылдамдықтардан құрылған параллелограмның ұзын диагоналін береді (6.3-сурет), яғни

.

Дербес жағдайлар үшін:

1) егер a = 00, онда ,

2) егер a = 1800, онда ,

3) егер a = 900, онда .

 
 


 

 

лл

 

Сурет

 

§6.4. Нүктенің күрделі қозғалысы кезіндегі оның үдеулерін қосу теоремасы ( Кориолис теоремасы)

Ø Теорема. Нүктенің күрделі қозғалысы кезіндегі оның абсолют үдеуі үш үдеудің геометриялық осындысына тең. Олар: салыстырмалы, тасымалды және айналмалы, немесе Кориолис үдеуі деп аталатын қосымша үдеулер.Сонымен,

. (6.5)

Дәлелі.Нүктенің абсолют үдеуі абсолют жылдамдықтан уақыт бойынша алынған толық туындыға тең, яғни

.

 

Бұл жердегі орнына (6.3) өрнегін қолдансақ, онда

. (6.6)

Енді және векторлары үшін (6.1) формуланы есепке алсақ, табатынымыз:

, .

Бұдан басқа:

, , , .

Олай болса (6.6) формуланы былай жазуға болады:

. (6.7)

Қозғалып бара жатқан М нүктенің тасымалды үдеуін анықтау үшін оны бір уақыт қозғалмалы санақ жүйесіне қатты бекіттік деп есептейміз, яғни (6.7) өрнекте және деп қабылдаймыз. Онда

. (6.8)

Демек,

. (6.9)

Бұл формуланың құрамына енген ақырғы қосынды Париж политехникалық мектебінің профессоры (1792-1843 гг.) Кориолистың атымен қосымша кориолис үдеуі делінген. Сонымен,

. (6.10)

Олай болса, (6.9) көрінісінде жаэылған формуланы төмендегідей түрде жазамыз:

Теореманың шарты бойынша осыны дәлелдеу керек еді.

Ескерту. Дербес жағдайда, тасымалды қозғалыс ілгерілемелі қозғалыстан тұратын болса, онда және . Демек, бұдан және . Бұл жағдайда үдеулерді қосу теоремасын былай сыйпаттауға болады: Тасымалды қозғалыс ілгерілемелі қозғалыстан тұратын болса, онда нүктенің абсолют үдеуі тасымалды және салыстырмалы үдеулердің геометриялық қосындысына тең болады, яғни

.

 

§6.5. Кориолис үдеуінің модулі мен бағыты

Анықтама бойынша, кориолис үдеуі дегеніміз екі еселенген тасымалды бұрыштық жылдамдық пен салыстырмалы жылдамдықтың векторлық көбейтіндісне тең болған шаманы айтады:

.

Бұл үдеудің сыйпаттайтыны:

1) нүктенің салыстырмалы қозғалысының салдарынан оның тасымалды жылдамдығының модулі мен бағытының өзгеруі;

2) нүктенің тасымалды қозғалысының салдарынан оның салыстырмалы жылдамдығының бағытының өзгеруі. Мысалы, бірқалыпты айналып тұрған дисктің радиусы бойлап бірер-бір М нүктесі бірқалыпты қозғалып бара жатқан болсын. Ол уақыт t болған кезде М, ал t + Dt шақта М1 орындарын иемденген болсын.

 

 

Сурет

 

Нүктенің салыстырмалы қозғалысы бірқалыпты әрі түзу сызықты болғандықтан, . Бірақ платформаның айналғандығынан Dt уақыт ішінде салыстырмалы жылдамдықтың бағыты өзгерді. Сонымен қатар, нүктенің М нен М1 ге дейінгі салыстырмалы қозғалысының нәтижесінде осы уақыт ішінде тасымалды жылдамдықтың бағыты мен модулі де өзгереді (vc = w×OM1, = w×OM1). Көрсетілген мен шамалардың өзгеруінің арқасында кориолис үдеуі пайда болады. Кориолис үдеуінің модулі мен векторларының векторлық көбейтіндісінің модулі болып есептелінеді, яғни

. (6.11)

Кориолис үдеуінің үш жағдай үшін нөлге тең болатыны (6.11) өрнегінен көрінеді. Шынында да:

1) егер w = 0 болса, онда нүктенің тасымалды қозғалысы ілгерімелі қозғалыс болады, немесе бұрыштық жылдамдық берілген уақытта нөлге тең;

2) егер = 0 болса, онда салыстырмалы тыныштық орнайды, немесе салыстырмалы жылдамдық берілген уақытта нөлге тең;

3) егер , яғни , немесе .

Басқа сөзбен айтқанда, мен векторлары бір-бірімен параллель болып есептелінеді. Мысалы, өз осінде айналып жатқан цилиндрдің құраушысының бойымен М нүктесі жылжып бара жатсын (6.5-сурет).

 
 

 


 

 

Сурет

Кориолис үдеуінің бағыты екі вектордың векторлық көбейтіндісінің ережесімен анықталады. Ол мен векторлары жатқан жазықтыққа перпендикуляр болып, бұл вектордың ұшынан қараған кезде дан

 


 

 

Сурет

векторына өтудің ең қысқа жолы сағат тіліне қарама-қарсы бағытта орындалуы тиіс (6.6 а,б-суреттер). Кейбір жағдайда үдеуін Жуковский ережесі арқылы анықтаған қолайлы (6.7-сурет).

 

 

Сурет

Сонымен, кориолис үдеуінің кеңістікте алатын бағытын анықтау үшін нүктенің салыстырмалы жылдамдығын тасымалды айналу осіне перпендикуляр болған жазықтыққа проекциялап, кейін бұл проекцияны сол жазықтықта тасымалды айналу бағытына қарап 900 бұрамыз.

Бақылау сұрақтары

1. Нүктенің күрделі қозғалысы дегенде нені түсінесіз? Мысалдар келтіріңдер.

2. Нүктенің салыстырмалы, тасымалды және абсолют қозғалыстары дегеніміз не?

3. Нүктенің салыстырмалы, тасымалды және абсолют жылдамдықтарына анықтама беріңіз.

4. Нүктенің күрделі қозғалысы кезіндегі оның абсолют жылдамдығы неге тең?

5. Нүктенің салыстырмалы, тасымалды және абсолют жылдамдықтарына анықтама беріңіз.

6. Нүктенің салыстырмалы, тасымалды және абсолют үдеулеріне анықтама беріңіз.

7. Кориолис теоремасын сыйпаттаңыз.

8. Тасымалды қозғалыс ілгерілемелі болғанда нүктенің абсолют үдеуі неге тең?

9. Кориолис үдеуі неге тең?

10. Қандай жағдайларда Кориолис үдеуі нөлге тең?

11. Кориолис үдеуінің пайда болуына не себепші?

12. Кориолис үдеуі кеңістікте қалай бағытталған? Жуковский ережесін сыйпаттаңыз.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.02 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал