Алтыншы тарау

Нү ктенің кү рделі қ озғ алысы. Негізгі тү сініктер мен анық тамалар. Вектордың толық жә не локальдық туындылары. Олар арасындағ ы байланыс. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысындағ ы оның жылдамдығ ы мен ү деуін қ осу теоремалары. Кориолис ү деуі

Сурет

Бірер-бір М нү кте денеге қ атты бекітілген қ озғ алмалы хОуz координаттар жү йесіне қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан болсын. Ал сонымен қ атар, қ озғ алмалы хОуz координаттар жү йесінің ө зі басқ а бір қ озғ алмайтын санақ жү йесі х₁О₁у₁z₁ ге қ атысты қ озғ алсын (6.1-сурет).

Тө мендегідей анық тамалар енгізейік.

1. Қ озғ алмайтын санақ жү йесіне қ атысты М нү ктенің қ озғ алысын оның абсолют қ озғ алысы деп атайды. Бұ л нү ктенің жылдамдығ ы мен ү деуін сә йкес оның абсолют жылдамдығ ы мен абсолют ү деуі деп атап, оларды жә не ә ріптермен белгілейді.

2. Қ озғ алмалы санақ жү йесіне қ атысты М нү ктенің қ озғ алысын оның салыстырмалы қ озғ алысы деп атайды. Бұ л нү ктенің салыстырмалы қ озғ алысы кезіндегі жылдамдығ ы мен ү деуін сә йкес оның салыстырмалы жылдамдығ ы мен салыстырмалы ү деуі деп атап, оларды мен ә ріптермен белгілейді.

3. Қ озғ алмалы хОуz координаттар жү йесінің жә не онымен бірге қ атты бекітілген дененің қ озғ алмайтын х₁О₁у₁z₁ санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алысы М нү кте ү шін тасымалды қ озғ алыс деп аталады. Нү ктенің қ озғ алмалы санақ жү йесімен байланысты жылдамдығ ы мен ү деуі оның тасымалды жылдамдығ ы мен тасымалды ү деуі деп аталып, оларды сә йкес жә не ә ріптермен белгілейді.

Жоғ арыда келтірілген поезд ішінде қ озғ алып бара жатқ ан адамның поездғ а қ атысты, самолет қ алағ ының самолетке қ атысты, қ айық тың ағ ып жатқ ан ө зенге қ атысты қ озғ алыстары салыстырмалы, ал поездың станцияғ а қ атысты, самолеттің жерге қ атысты, ө зеннің жағ ағ а қ атысты қ озғ алыстары тасымалды қ озғ алыстар деп аталады. Сонымен қ атар, поезд ішіндегі адамның станцияғ а қ атысты, самолет қ алағ ының жерге қ атысты, қ айық тың жағ ағ а қ атысты қ озғ алыстары абсолюттік қ озғ алысқ а жатады. Келтірілген мысалдардан сезгеніміз, абсолюттік қ озғ алыс салыстырмалы жә не тасымалды қ озғ алыстардан тұ ратын кү рделі қ озғ алыс екен.

Сонымен, нү ктенің кү рделі қ озғ алысын ү йрену оның салыстырмалы, тасымалды жә не абсолюттік қ озғ алыстарын зерттеп алып, оның жылдамдық тары мен ү деулерінің арасындағ ы байланыстарды табу болып есептелінеді.

§6.2. Вектордың толық жә не локальдық туындыларының арасындағ ы байланыс

Бірер-бір векторды мына тү рде ө рнектейік:

,

мұ ндағ ы – қ озғ алмалы координаттар жү йесінің бірлік векторлары, яғ ни орталары; – вектордың сә йкес қ озғ алмалы координаттар жү йесіне болғ ан проекциялары.

Анық тама. 1) Қ озғ алмайтын координаттар жү йесінде векторынан уақ ыт бойынша алынғ ан туынды оның осы жү йеде қ алай ө згеруін сыйпаттайтын шама болып, вектордың толық (абсолют) туындысы деп аталады. Ол ә детте белгіленеді. 2) Қ озғ алмалы координаттар жү йесінде векторынан уақ ыт бойынша алынғ ан туынды оның осы жү йеде қ алай ө згеруін сыйпаттайтын шама болып, вектордың локальды (салыстырмалы) туындысы деп аталады. Ол ә детте белгіленеді.

Ескерту. Қ озғ алмалы координаттар жү йесі ү шін бірлік векторлары тұ рақ ты шамалар болса, қ озғ алмайтын координаттар жү йесі ү шін бұ л векторлардың бағ ыттары ө згеріп отырады. Сондық тан, векторының уақ ыт бойынша алынғ ан толық туындысы мына ө рнекке тең:

.

Сонымен қ атар векторынан уақ ыт бойынша алынғ анлокальды туындыны келесі ө рнектен табамыз:

.

Бұ дан ө зге,

екенін еске алсақ, онда Пуассон формуласына келеміз:

.

Олай болса,

.

Осы табылғ андарды қ олдана отырып, векторының толық туындысын мына кө рініске келтіреміз:

, (6.1)

яғ ни берілген вектордың уақ ыт бойынша алынғ ан толық туындысы осы вектордың уақ ыт бойынша алынғ ан локальды туындысы мен қ озғ алмалы координаттар жү йесінің бұ рыштық жылдамдығ ының вектормен болғ ан векторлық кө бейтіндісінің геометриялық қ осындысына тең.

§6.3. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысы кезіндегі оның жылдамдық тарын қ осу теоремасы

Ø Теорема. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысы кезіндегі оның абсолют жылдамдығ ы салыстырмалы жә не тасымалды жылдамдық тардың геометриялық қ осындысына тең, яғ ни:

. (6.2)

Дә лелі. Бірер-бір М нү ктесі қ озғ алмалы хОуz координаттар жү йесіне қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан болсын. Сонымен қ атар, қ озғ алмалы хОуz координаттар жү йесі сол нү ктемен бірге қ озғ алмайтын х₁О₁у₁z₁ координаттар жү йесіне қ атысты қ озғ алсын. Егер біз 6.2-суретте кө рсетілгендей , , радиус-векторларын жү ргізсек, онда .

6. 2- сурет

Осы векторлық тең дікті дифференциалдасақ, табатынымыз:

.

Бұ л жердегі . Егер (6.1) ө рнекті ескерсек, онда

,

мұ нда . Осылардың бә рін еске алсақ, онда

. (6.3)

Анық тама бойынша тасымалды жылдамдық қ озғ алмалы санақ жү йесімен байланысты болғ ан нү ктенің берілген уақ ыттағ ы жылдамдығ ы. Сондық тан да жылдамдығ ын анық тау ү шін қ озғ алып бара жатқ ан нү ктені қ озғ алмалы санақ жү йесімен қ озғ алмайтындай етіп бекітеміз, яғ ни (6.3) ө рнегінде деп есептейміз. Онда:

. (6.4)

Бұ л кезде (6.3) ө рнегі мына кө рініске ие болады:

.

Осыны дә лелдеу керек еді.

Сонымен, нү ктенің салыстырмалы, тасымалды жылдамдық тары жә не олардың арасындағ ы a бұ рышы белгілі болса, онда оның абсолют жылдамдығ ының модулі осы жылдамдық тардан қ ұ рылғ ан параллелограмның ұ зын диагоналін береді (6.3-сурет), яғ ни

.

Дербес жағ дайлар ү шін:

1) егер a = 0⁰, онда ,

2) егер a = 180⁰, онда ,

3) егер a = 90⁰, онда .

лл

Сурет

§6.4. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысы кезіндегі оның ү деулерін қ осу теоремасы (Кориолис теоремасы)

Ø Теорема. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысы кезіндегі оның абсолют ү деуі ү ш ү деудің геометриялық осындысына тең. Олар: салыстырмалы, тасымалды жә не айналмалы, немесе Кориолис ү деуі деп аталатын қ осымша ү деулер.Сонымен,

. (6.5)

Дә лелі. Нү ктенің абсолют ү деуі абсолют жылдамдық тан уақ ыт бойынша алынғ ан толық туындығ а тең, яғ ни

.

Бұ л жердегі орнына (6.3) ө рнегін қ олдансақ, онда

. (6.6)

Енді жә не векторлары ү шін (6.1) формуланы есепке алсақ, табатынымыз:

, .

Бұ дан басқ а:

, , , .

Олай болса (6.6) формуланы былай жазуғ а болады:

. (6.7)

Қ озғ алып бара жатқ ан М нү ктенің тасымалды ү деуін анық тау ү шін оны бір уақ ыт қ озғ алмалы санақ жү йесіне қ атты бекіттік деп есептейміз, яғ ни (6.7) ө рнекте жә не деп қ абылдаймыз. Онда

. (6.8)

Демек,

. (6.9)

Бұ л формуланың қ ұ рамына енген ақ ырғ ы қ осынды Париж политехникалық мектебінің профессоры (1792-1843 гг.) Кориолистың атымен қ осымша кориолис ү деуі делінген. Сонымен,

. (6.10)

Олай болса, (6.9) кө рінісінде жаэылғ ан формуланы тө мендегідей тү рде жазамыз:

Теореманың шарты бойынша осыны дә лелдеу керек еді.

Ескерту. Дербес жағ дайда, тасымалды қ озғ алыс ілгерілемелі қ озғ алыстан тұ ратын болса, онда жә не . Демек, бұ дан жә не . Бұ л жағ дайда ү деулерді қ осу теоремасын былай сыйпаттауғ а болады: Тасымалды қ озғ алыс ілгерілемелі қ озғ алыстан тұ ратын болса, онда нү ктенің абсолют ү деуі тасымалды жә не салыстырмалы ү деулердің геометриялық қ осындысына тең болады, яғ ни

.

§6.5. Кориолис ү деуінің модулі мен бағ ыты

Анық тама бойынша, кориолис ү деуі дегеніміз екі еселенген тасымалды бұ рыштық жылдамдық пен салыстырмалы жылдамдық тың векторлық кө бейтіндісне тең болғ ан шаманы айтады:

.

Бұ л ү деудің сыйпаттайтыны:

1) нү ктенің салыстырмалы қ озғ алысының салдарынан оның тасымалды жылдамдығ ының модулі мен бағ ытының ө згеруі;

2) нү ктенің тасымалды қ озғ алысының салдарынан оның салыстырмалы жылдамдығ ының бағ ытының ө згеруі. Мысалы, бірқ алыпты айналып тұ рғ ан дисктің радиусы бойлап бірер-бір М нү ктесі бірқ алыпты қ озғ алып бара жатқ ан болсын. Ол уақ ыт t болғ ан кезде М, ал t + Dt шақ та М₁ орындарын иемденген болсын.

Сурет

Нү ктенің салыстырмалы қ озғ алысы бірқ алыпты ә рі тү зу сызық ты болғ андық тан, . Бірақ платформаның айналғ андығ ынан Dt уақ ыт ішінде салыстырмалы жылдамдық тың бағ ыты ө згерді. Сонымен қ атар, нү ктенің М нен М₁ ге дейінгі салыстырмалы қ озғ алысының нә тижесінде осы уақ ыт ішінде тасымалды жылдамдық тың бағ ыты мен модулі де ө згереді (v_c = w× OM₁, = w× OM₁). Кө рсетілген мен шамалардың ө згеруінің арқ асында кориолис ү деуі пайда болады. Кориолис ү деуінің модулі мен векторларының векторлық кө бейтіндісінің модулі болып есептелінеді, яғ ни

. (6.11)

Кориолис ү деуінің ү ш жағ дай ү шін нө лге тең болатыны (6.11) ө рнегінен кө рінеді. Шынында да:

1) егер w = 0 болса, онда нү ктенің тасымалды қ озғ алысы ілгерімелі қ озғ алыс болады, немесе бұ рыштық жылдамдық берілген уақ ытта нө лге тең;

2) егер = 0 болса, онда салыстырмалы тыныштық орнайды, немесе салыстырмалы жылдамдық берілген уақ ытта нө лге тең;

3) егер , яғ ни , немесе .

Басқ а сө збен айтқ анда, мен векторлары бір-бірімен параллель болып есептелінеді. Мысалы, ө з осінде айналып жатқ ан цилиндрдің қ ұ раушысының бойымен М нү ктесі жылжып бара жатсын (6.5-сурет).

Сурет

Кориолис ү деуінің бағ ыты екі вектордың векторлық кө бейтіндісінің ережесімен анық талады. Ол мен векторлары жатқ ан жазық тық қ а перпендикуляр болып, бұ л вектордың ұ шынан қ арағ ан кезде дан

Сурет

векторына ө тудің ең қ ысқ а жолы сағ ат тіліне қ арама-қ арсы бағ ытта орындалуы тиіс (6.6 а, б-суреттер). Кейбір жағ дайда ү деуін Жуковский ережесі арқ ылы анық тағ ан қ олайлы (6.7-сурет).

Сурет

Сонымен, кориолис ү деуінің кең істікте алатын бағ ытын анық тау ү шін нү ктенің салыстырмалы жылдамдығ ын тасымалды айналу осіне перпендикуляр болғ ан жазық тық қ а проекциялап, кейін бұ л проекцияны сол жазық тық та тасымалды айналу бағ ытына қ арап 90⁰ бұ рамыз.

Бақ ылау сұ рақ тары

1. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысы дегенде нені тү сінесіз? Мысалдар келтірің дер.

2. Нү ктенің салыстырмалы, тасымалды жә не абсолют қ озғ алыстары дегеніміз не?

3. Нү ктенің салыстырмалы, тасымалды жә не абсолют жылдамдық тарына анық тама берің із.

4. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысы кезіндегі оның абсолют жылдамдығ ы неге тең?

5. Нү ктенің салыстырмалы, тасымалды жә не абсолют жылдамдық тарына анық тама берің із.

6. Нү ктенің салыстырмалы, тасымалды жә не абсолют ү деулеріне анық тама берің із.

7. Кориолис теоремасын сыйпаттаң ыз.

8. Тасымалды қ озғ алыс ілгерілемелі болғ анда нү ктенің абсолют ү деуі неге тең?

9. Кориолис ү деуі неге тең?

10. Қ андай жағ дайларда Кориолис ү деуі нө лге тең?

11. Кориолис ү деуінің пайда болуына не себепші?

12. Кориолис ү деуі кең істікте қ алай бағ ытталғ ан? Жуковский ережесін сыйпаттаң ыз.