Кинематика

Кіріспе

Қ азіргі заман ғ ылымы мен техникасының жә не компьютер технологиясының ө ркендеуі жоғ арғ ы оқ у орындарына оқ у процессіне керек болғ ан жаң адан-жаң а пә ндерді енгізуге алып келді. Мемлекетіміздің жоғ арғ ы білім беру саласында бір сатылы дең гейден екі сатылық дең гейге ө ту, яғ ни бакалавр-магистр жобасын қ олдау барлық техника пә ндері қ атарында «Теориялық механика» пә нінің де ө зіне лайық ты қ ысқ аша курсын тү зуге алып келді.

Бұ л деген сө з теориялық жә не қ олданбалы қ асиетке ие болғ ан жаң а инженерлік пә ндердің, сонымен қ атар қ азіргі ө мір талабына сай білімнің жоғ арғ ы сатығ а жетуі осы пә ндерден олардың мазмұ нын жә не ә дістемелік баянын ө згертуге келтіріп отыр.

Жалпы алғ анда, теориялық механика пә нін игеру кезінде студенттердің ө зіндік атқ арғ ан жұ мыстары ерекже маң ызғ а ие болатынын атап ө ткен жө н. Ә сіресе бұ ның маң ыздылығ ы кә зіргі шақ та кө п техникалық мамандық тарғ а теориялық механика пә нін игеру ү шін кететін аудиториялық сабақ тардың едә уір қ ысқ аруында. Сондық тан да, бұ л пә ннің негізін қ алап, оны жетік ү йрену ү шін студенттердің ө зіне келіп тіреліп тұ рғ аны айқ ын ең бек. Ал олардың ө зіндік жұ мыстарын жең ілдету ү шін теориялық механика пә ні бойынша қ азақ тілінде дұ рыс жолғ а қ ойылғ ан оқ улық тар жә не оқ у қ ұ ралдары керек болып-ақ тұ р. Бұ л оқ у - ә дістемелік қ ұ ралдар студенттердің теориялық механика пә ні бойынша алғ ан теориялық білімдерін тікелей практикалық есептерге қ алайша қ олдана білулеріне жол сілтеулері керек. Қ олдарың дағ ы оқ у қ ұ ралының максаты да осы, яғ ни жас ө спірім студент қ ауымының теориялық механика пә нін игеру ү рдісінде қ иын да, тастақ ты жолдарын жең ілдету.

Курстың бұ л бө ліміне теориялық механиканың бір бө лімі болып саналатын кинематиканың негізгі мә селелері еніп отыр. Бұ л оқ у қ ұ ралының студенттер мен оқ ытушылар ү шін ө зіндік ерекшелігі бар. Кинематикада дене қ озғ алысы тек геометриялық тұ рғ ыдан, яғ ни денеге ә сер ететін кү штер назарғ а алынбай, зерттелінеді.

Кинематика бойынша бұ л оқ у қ ұ ралының кө лемі Қ Р Білім жә не Ғ ылым министрлігі тарапынан алдын-ала қ арастырылғ ан типтік бағ дарламалардан ауытқ ымағ ан. Ол университет студенттерінің 050712-Машинажасау, 050901-Тасымалды ұ йымдастыру, кө лік қ атынасы мен пайдалану, 050724-Технологиялық машиналар мен жабдық тау мамандық тары ү шін таптырмайтын оқ у қ ұ ралы.

Бұ л оқ у қ ұ ралында: кинематика теориясының негізі мен есептері; нү кте қ озғ алысының ә ртү рлі берілу тә сілдері; қ озғ алып бара жатқ ан нү ктенің кинематикалық характеристикаларын анық тау жолдары, классикалық механикадағ ы кең істік пен уақ ыт тү сінігі; табиғ и ө стер, табиғ и ү шқ ырлық, қ исық сызық тың қ исық тығ ы жә не қ исық тық радиус ұ ғ ымдары келтірілген. Айналмалы, ілгерілемелі, жазық -параллель, сфералық жә не еркін қ озғ алатын сә йкес денелердің ө здерінің жә не оларғ а тиісті нү ктелердің кинематикалық характеристикалары анық талғ ан. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысының негізгі ұ ғ ымдары мен анық тамалары жә не осындай қ озғ алыс кезіндегі нү ктенің сә йкес жылдамдық тары мен ү деулерін қ осу теоремалары берілген.

Барлық тарауда тиісті теориялық оқ у материалдары негізінде студенттер тарапынан алатын білімді тексеретін ө зіндік сұ рақ тар, шешілген есептермен қ атар оқ у - ә дістемелік ұ сыныстармен байланыстырылып отырады. Сонымен қ атар оқ у - ә дістемелік ұ сыныста проблемалық ситуацияны аша білу; дә ріс барысында техникалық оқ у қ ұ ралдарын пайдалана білу; пә н аралық жә не ішкі пә ндер арасындағ ы байланыстарды қ олдану жолдары; ә рбір дә ріске тә н оқ у материалдарының профессионалдық бағ ытын дұ рыс анық тау методикасы қ амтылғ ан. Ә р дә ріске студенттер алдын – ала дайындалып келулері керек. Ол ү шін олар сол кү ні болатын дә рістің тақ ырыбын біле отырып оғ ан кітапханада, немесе ә р дә рістің электрондық варианты бар компьютерлық класста дайындалуларына тола мү мкіншілік жасалуы керек. Егер дә ріс 50 минуттен тұ ратын болса, онда ә рбір дә ріске оқ ытушы 20-25 минуттен артық уақ ыт сарып етпеуі керек. Қ алғ ан уақ ыт студенттер мен оқ ытушы арасындағ ы диалог ретінде ө тілуі тиіс. Бұ л кезде студеттер тарапынан берілетін сұ рақ тарғ а оқ ытушы жауап бере отырып, ө зі де оларғ а қ арсы сұ рақ тар беріп олардың алғ ан білімін тексеріп қ ойғ аны дұ рыс. Бұ л кезде ө тілген дә ріс тақ ырыбына байланысты шағ ын есептер де шешілуі мү мкін. Осындай жолды ә р дә ріс кезінде қ олдансақ жастардың ойлау қ абылетін кө тереміз деген ойдамыз. Ал ө зіміз дә ріс кезінде студенттерге ө тілген теориялық материалдар тө ң ірегінде сұ рақ тар беріп отырсақ, онда олардың дұ рыс ойлау қ абылетін арттырып ә р сұ рақ тың дұ рыс шындығ ына жетулері ә бден мү мкін. Осы мә селелер оқ у –қ ұ ралда қ арастырылғ ан.

Бұ л, ық шамдалғ ан кинематика курсының негізі, автордың М.Ауезов атындағ ы Оң тү стік Қ азақ стан Мемлекеттік Университетінің студенттері ү шін оқ ығ ан материалдарынан қ ұ ралғ ан.

Бірінші тарау

Кинематикағ а шолу. Кинематика пә ні. Классикалық механикадағ ы кең істік пен уақ ыт. Механикалық қ озғ алыстың салыстырмалығ ы. Санақ жү йесі. Кинематика есептері. Нү кте қ озғ алысының векторлық тә сілде берілуі. Жылдамдық пен ү деуді анық тау. Нү кте қ озғ алысының координаттық тә сілі. Жылдамдық пен ү деуді анық тау

 

Бірінші тараудың мақ саты: Оқ ырмандарды теориялық механика курсының негізгі бө лімдерінің бірі болып есептелінетін кинематика саласымен таныстыру. Санақ жү йесі, кең істік, уақ ыт жә не классикалық механикадағ ы механикалық қ озғ алыстың салыстырмалығ ы жө ніндегі ұ ғ ымдарды бері.

Кинематиканың негізгі есептері мен нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдерін мазмұ ндау. Нү кте қ озғ алысы сә йкес векторлық жә не координаталық тә сілдерде берілген кезде оның қ озғ алыс тең деулерін, жылдамдығ ы мен ү деуін табу. Ө з білімінің сапасын тексеру мақ сатында қ ұ растырылғ ан сұ рақ тарды келтіру мен осы тақ ырыптың арқ асында алғ ан теориялық білімін нақ ты берілген есептерге қ олдану. Оқ у - ә дістеме ұ сыну.

 

§1.1. Кинематикағ а шолу. Кинематика пә ні.

Теориялық механиканың кинематика бө лімінде материялық нү кте мен абсолюттық қ атты дененің механикалық қ озғ алысы қ арастырылады. «Кинематика» деген сө здің ө зі гректердің «кинема» -қ озғ алыс атты сө зінен шық қ ан. Бірақ бұ л жерде бізді қ озғ алыстың қ алай пайда болатыны, немесе қ алай ө згеретіні қ ызық тырмайды. Сонымен, теориялық механиканың кинематика бө лімі деп материялық нү кте мен абсолюттық қ атты дененің геометриялық кө зқ арас бойынша кең істіктегі орын ауыстыруы болып есептелінеді, яғ ни қ озғ алысты дү ниеге келтіретін сыртқ ы кү ш есепке алынбайды деген сө з.

Кинематика теориялық механиканың статика бө лімі сияқ ты динамиканың негізгі бір бө лігін қ ұ рап механикағ а тә н пә ндердің қ атарына жатады. Кинематиканың орны техника саласында орасан зор. Оның заң дары мен ө зіне тә н формулалары қ олданбалы механикада кең қ олданылады. Ә сіресе, машиналар мен механизмдер теориясында оның бағ асы орасан.

Кинематиканың негізін оның аксиомалары қ алайды. Қ озғ алыстың кинематикасын зерттеу ү шін басқ а қ осымша заң дар мен аксиомалар керек етілмейді.

§1.2. Классикалық механикадағ ы кең істік пен уақ ыт. Механикалық қ озғ алыстың салыстырмалығ ы. Санақ жү йесі.

Кинематикада тек механикалық қ озғ алыс қ ана зерттеледі, яғ ни уақ ытқ а байланысты берілген дененің басқ а бір дененге қ атысты кең істіктегі орын ауыстыруы қ арастырылады. Осы дене санақ денесі деп аталады. Санақ денесімен ә рдайым тұ рақ ты байланыстағ ы координаттар системасын санақ жү йесі деп атайды. Егер дененің орны таң дап алынғ ан санақ жү йесіне қ атысты ө згермейтіндей болса, онда дене бұ л санақ жү йесіне қ атысты ө зінің тыныштық кү йін сақ тайды.

Қ атты дененің ә ртү рлі санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алысы ә ртү рлі болуы мү мкін (мысалы, адамның поездың ө зіне жә не темір жол станциясына қ атысты қ озғ алыстары). Сондық тан да материалдық қ атты дененің немесе материялық нү ктенің қ озғ алысын қ арастырғ ан кезде ә рқ ашан олардың қ айсы санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алатынын кө рсету керек. Кең істікте қ озғ алатын кез келген дене уақ ытқ а байланысты. Теориялық механикада кең істік ү шө лшемді евклидті деп саналады, яғ ни оның барлық ө лшемдері Евклид геометриясымен шешіледі. Қ ашық тық тың ө лшем бірлігі 1метр. Уақ ыт барлық санақ жү йесі ү шін бірдей деп қ абылданғ ан. Оның ө лшем бірлігі 1 секунд. Уақ ыт скаляр шама болып, ол ү здіксіз ө згеріп отырады. Кинематиканың есептерінде уақ ыт тә уелсіз айнымалы шама ретінде қ абылданып, қ алғ ан айнымалы шамалар уақ ыт t ның функциясы деп саналады. Уақ ыт есебі бастапқ ы (t=0) ден басталады. Ә рбір t кезең бастапқ ы уақ ыттан қ аралып отырғ ан шақ қ а дейінгі кеткен секундпен анық талады. Кез-келген осындай шама уақ ыт аралығ ы деп аталады.

Дененің кез-келген нү ктесінің қ озғ алысы ә р тү рлі болуы мү мкін. Сондық тан кинематиканы ү йренуді бір нү ктенің қ озғ алысын ү йренуден бастауды жө н кө рдік.

§1.3. Нү кте кинематикасы. Кинематика есептері. Нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдері

Нү ктенің қ озғ алғ ан кездегі таң дап алынғ ан санақ жү йесіне қ атысты сызғ ан ү здіксіз сызығ ын оның траекториясы деп атайды. Егер траектория тү зу сызық болса, онда нү ктенің қ озғ алысы тү зу сызық ты, ал қ исық болса, онда қ исық сызық ты деп аталады.

Нү кте кинематикасы мынандай екі мә селені шешеді:

1) нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдерін табу;

2) осығ ан сү йене отырып қ озғ алып бара жатқ ан нү ктенің жылдам дығ ы мен ү деуін анық тау.

Нү кте қ озғ алысы таң дап алынғ ан санақ жү йесіне қ атысты берілген деп есептелінеді, егер оның осы санақ жү йесіне қ атысты кез-келген уақ ыттағ ы орнын анық тайтын тә сіл анық болса. Оны анық тайтын 3 тә сіл бар: векторлық, координаталық, табиғ и. Осы тә сілдерді бірме-бір қ арастырып шығ айық, яғ ни кинематиканың екі мә селесін шешуге ә рекет жасайық.

 

§1.4. Нү кте қ озғ алысының векторлық тә сілмен берілуі

Материялық М нү кте хОуz санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан болсын (1.1-сурет). Координата басынан М нү ктесінің радиус-векторын ө ткізейік. Бұ л вектордың ақ ыры М нү ктесі болып саналады. Демек, М нү ктенің кез-келген уақ ыттағ ы алатын орны егер осы радиус-вектор белгілі болса, онда ол анық талады. Қ озғ алып бара жатқ ан нү ктенің орнын анық тайтын бұ л вектордың уақ ыт ө тісімен ұ зындығ ы мен алатын бағ ыты ө згеріп отырады. Олай болса, бұ л вектор уақ ытқ а тә уелді болып тө мендегідей тү рде жазылады:

. (1.1)

(1.1)–тең деу нү кте қ озғ алысы векторлық тә сілмен берілген кездегі оның қ озғ алысының векторлық тең деуі деп аталады.

 

 

Сурет

Жоғ арыда келтірілген (1.1) ө рнегі арқ ылы қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің таң дап алынғ ан санақ жү йесіне қ атысты кез-келген уақ ыттағ ы алатын орнын анық тауғ а болады. Ал оның қ озғ алыс траекториясын радиус-вектордың кез-келген уақ ыттағ ы ұ шының кең істікте алатын геометриялық орнын қ осу арқ ылы табуғ а болады. Басы кең істіктің белгілі бір О нү ктесінде жататын айнымалы вектордың ұ шының сызатын сызығ ын осы вектордың годографы делінеді. Демек, қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің траекториясы оның радиус-векторының годографы болады екен.

Жылдамдық ты анық тау. Радиус-вектор дің бір – бірлік уақ ыт ішінде ө згеру тездігін қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің жылдамдығ ы делінеді. Уақ ыт t болғ ан кездегі қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің кең істіктегі алатын орны радиус-вектор мен, ал t₁ уақ ыт кезіндегі орны ге тең болғ ан радиус-вектор арқ ылы анық талсын. Олай болса векторы (1.2-сурет) уақ ыт аралығ ындағ ы қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің орын ауыстыру векторы деп аталады. Ал қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің орын ауыстыру векторының уақ ыт аралығ ына болғ ан қ атынасы уақ ыт аралығ ындағ ы нү ктенің орташа жылдамдығ ын береді.

.

Сурет

Анық талғ ан векторы векторы қ алай бағ ытталса солай қ арай бағ ытталады, яғ ни нү ктенің қ озғ алыс бағ ыты ММ₁ хордасы бойлап бағ ытталады. Уақ ыт аралығ ы қ анша кіші болса, сол ү шін табылғ ан нү ктенің орташа жылдамдығ ының дә лдігі жоғ ары болып есептелінеді. Дегенменде, нү ктенің шынайы қ озғ алысын тек оның осы уақ ыттағ ы жылдамдығ ы ғ ана дұ рыс сыйпаттай алады. Сонымен берілген мезгілдегі нү ктенің жылдамдығ ы деп да векторының ұ мтылғ ан шегін айтады., яғ ни:

. (1.2)

Демек, қ озғ алып бара жатқ ан нү ктенің радиус- векторынан уақ ыт бойынша алынғ ан бірінші туынды нү ктенің сол мезеттегі жылдамдығ ы деп аталады. Сонымен бірге кесушінің дағ ы бағ ыты жанама бойлап бағ ытталатындық тан, жылдамдық векторының де бағ ыты қ озғ алып бара жатқ ан нү кте траекториясына ә рқ ашан жанама бойлап бағ ытталады.

Жылдамдық тың ө лшем бірлігі: м/с; см/с; км/сағ.

Нү ктенің ү деуін анық тау. Нү кте жылдамдығ ының бір – бірлік уақ ыт ішінде ө згеру тездігін (модулі жә не бағ ыты бойынша) қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің ү деуі делінеді. Уақ ыт t ғ а тең болғ ан кездегі қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің жылдамдығ ы , ал t₁ уақ ыт кезіндегі жылдамдығ ы болсын. Олай болса векторы (1.3-сурет) уақ ыт аралығ ындағ ы қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің вектор жылдамдығ ының ө сімі деп аталады. Ал қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің вектор жылдамдық ө сімінің уақ ыт аралығ ына болғ ан қ атынасы уақ ыт аралығ ындағ ы нү ктенің орташа ү деуі делінеді, яғ ни

.

Сурет

Бү л жердегі векторы векторымен бағ ыттас, яғ ни қ исық сызық тың иілген жағ ына қ арай бағ ытталғ ан. Жылдамдық ты анық тағ андай бұ л жерде де берілген мезеттегі нү ктенің ү деуі деген ұ ғ ымды енгізейік. Нү ктенің берілген мезеттегі ү деуі деп кездегі нү ктенің орташа ү деуі болғ ан векторының ұ мтылатын шегін айтады. Сонымен:

.

Жоғ арыдағ ы (1.2) ө рнекті қ олдансақ, онда

(1.3)

келіп шығ ады.

Демек, (1.3) ө рнегімен ө рнектелетін нү ктенің берілген мезеттегі ү деуі деп жылдамдық тан уақ ыт бойынша алынғ ан бірінші туындығ а, немесе нуктенің радиус-векторынан уақ ыт бойынша алынғ ан екінші туындығ а тең болғ ан векторлық шаманы айтады. Егер нү ктенің қ озғ алыс траекториясы жазық сызық болса, онда векторы сияқ ты векторы да қ исық сызық тың жазық тығ ында жатып, осы қ исық сызық тың ойық жағ ына қ арап бағ ытталады.

Егер нү ктенің қ озғ алыс траекториясы кең істікте орналасқ ан сызық болса, онда векторы М нү ктесінің қ озғ алыс траекториясының жанамасы жә не М₁ нү ктедегі жанамағ а параллель болғ ан тү зу жататын жазық тық тың бетінде жатады. Бұ л жазық тық тың кездегі алатын шекті орны жанасушы жазық тық деп аталады. Бұ дан келіп шығ атын тұ жырым: траекторияғ а қ атысты вектор ү деудің алатын орны ол жанасушы жазық тық беті болып жә не қ исық сызық тың ойық жағ ына қ арап бағ ытталады. Ү деудің ө лшем бірлігі: м/с², см/с².

§1.5. Нү кте қ озғ алысының координаталық тә сілмен берілуі

Кең істікте бірер-бір санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан нү ктенің бірден-бір орнын анық тайтын координаталар деп аталатын кейбір параметрлер жиыны, нү кте қ озғ алысының координаталық тә сілмен берілуінің негізін қ ұ райды. Координаталар системасы ә р-тү рлі болуы мү мкін (декарттық, полярлық, цилиндрлік, сфералық жә не т.т.). Біз солардың ішінен тікбұ рышты декарт координаталар жү йесіне жататын системаны қ арастырайық (1.4-сурет). Онда осы жү йеге қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан М нү ктенің бірден-бір орнын анық тайтын координаталар х, у, z. Уақ ыт ө тісімен бұ л координаталар ө згеріп отырады, яғ ни олар уақ ыттың функциясы:

(1.4)

Сурет

Жоғ арыда жазылғ ан (1.4) ө рнегі белгілі болса, онда бұ л санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан М нү ктенің кез-келген уақ ыттағ ы алатын бірден-бір орны анық талады. Ал (1.4) ө рнегі декарт координаталарында жазылғ ан нү ктенің қ озғ алыс тең деулері деп аталады.

Егер нү кте тек бірер-бір жазық тық тың бетінде қ озғ алатын болса, онда оның қ озғ алыс тең деулерінің кө рінісі мынадай тү рде жазылады (1.5-сурет):

(1.5)

Егер нү кте тек бір тү зу бойлап (1.6-сурет) қ озғ алатын болса, онда нү ктенің қ озғ алып бара жатқ ан бұ л тү зуін х ө сі деп қ абылдаймыз. Бұ л кезде нү ктенің осы ө сте кез-келген уақ ыттағ ы алатын бірден-бір орны бір ОМ = х координатамен анық талады. Олай болса нү ктенің тү зу сызық ты қ озғ алысы бір тең деумен беріледі, яғ ни:

.

Сурет

Сурет

Нү ктенің қ озғ алыс траекториясын анық тау. Жоғ арыда келтірілген (1.4) пен (1.5) ө рнектер нү кте қ озғ алыс траекториясының параметрлік кө ріністе жазылғ ан тең деулері. Бұ л тең деулер қ ұ рамынан t уақ ытты жоятындай болсақ, онда қ озғ алыс траекториясының координата тү рінде жазылғ ан кө рінісіне келеміз.

Кең істіктегі қ исық сызық ү шін бұ л екі тең деуден тұ рады, яғ ни:

(1.6)

Жазық тық тағ ы қ исық сызық ү шін бұ л бір тең деуден тұ рады:

. (1.7)

Сонымен табылғ ан (1.6) мен (1.7) тең деулер нү кте қ озғ алыс траекториясын анық тауғ а мү мкіншілік береді.

Нү ктенің жылдамдығ ын анық тау. Тік бұ рышты декарт координаталар жү йесінің базистерін деп белгілеп алайық. Қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің координаталары оның радиус-векторы дің сә йкес декарт ө стеріне болғ ан проекцияларынан тұ рады. Олай болса векторды координата ө стеріне жіктесек

келіп шығ ады. Егер екенін еске алсақ, онда

. (1.8)

Сонымен қ атар векторды координата ө стеріне болғ ан оның проекциялары бойынша жайсақ, онда

. (1.9)

Табылғ ан (1.8) жә не (1.9) ө рнектерді бір-бірімен салыстырсақ тө мендегідей ө рнектерге ие боламыз:

, (1.10)

яғ ни нү кте жылдамдығ ының координата ө стеріне болғ ан проекциялары , оның сә йкес x, y, z координаталарынан уақ ыт бойынша алынғ ан бірінші туындысына тең. Енді жоғ арыдағ ы нү кте жылдамдығ ының проекцияларын анық тайтын (1.10)- ө рнекті қ олдана отырып вектор жылдамдық тың шамасы мен бағ ытын анық таймыз. Олар тө мендегідей ө рнектерден табылады:

(1.11)

Нү ктенің ү деуін анық тау. Нү ктенің ү деуін оның жылдамдығ ын қ алай анық тағ ан болсақ солай табамыз. Ол ү шін ө рнегін пайдаланамыз. Радиус – вектор ү шін

,

формуланы еске ала отырып

(1.12)

анық таймыз. Сонымен қ атар ү деуді белгілейтін векторын координат ө стеріне жайсақ

(1.13)

ө рнекті табуғ а болады. Бір-бірімен табылғ ан (1.12) мен (1.13) -ө рнектерді салыстырсақ

(1.14)

келіп шығ ады, яғ ни нү кте ү деуінің координата ө стеріне болғ ан проекциялары , оның сә йкес x, y, z координаталарынан уақ ыт бойынша алынғ ан екінші туындысына тең. Енді жоғ арыдағ ы нү кте ү деуінің проекцияларын анық тайтын (1.14) - ө рнекті қ олдана отырып вектор ү деуінің шамасы мен бағ ытын анық таймыз. Олар тө мендегідей ө рнектерден табылады:

(1.15)

Дербес жағ дайда, егер нү ктенің қ озғ алысы бірер-бір жазық тық бетінде орындалатын болса, онда (1.10), (1.11) жә не (1.13), (1.15) формулалар тө мендегідей кө рініске ие болады:

(1.16)

(1.17)

Егер нү кте бірер-бір тү зуді бойлап қ озғ алатын болса, онда оның қ озғ алыс тең деуі бір тең деумен беріледі. Бұ л жағ дайда нү ктенің кинематикалық характеристикалары мына ө рнектермен анық талады: , .

Бақ ылау сұ рақ тары

1. Кинематика дегеніміз не?

2. Санақ жү йесі дегеніміз не?

3. Нү ктенің траекториясы дегеніміз не? Траекторияның қ андай тү рлерін білесіз?

4. Сіз нү кте қ озғ алысының қ андай берілу тә сілдерін білесіз? Векторлық жә не координаталық тә сілдерді сыйпаттап берің із.

5. Айнымалы вектордың годографы деп нені айтады? Нү кте қ озғ алысы векторлық тә сілмен берілген кезде оның траекториясы нені білдіреді?

6. Нү кте қ озғ алысы координаталық тә сілмен берілген кезде оның траекториясы нені білдіреді?

7. Нү ктенің жылдамдығ ы қ алай анық талады?

8. Нү кте қ озғ алысы векторлық тә сілмен берілген кезде оның жылдамдығ ы қ алай анық талады? Ол қ алай бағ ытталғ ан?

9. Қ озғ алмайтын декарт координаталар ө стеріне нү ктенің жылдамдығ ының проекциялары қ алай анық талады?

10. Нү кте қ озғ алысы координаталық тә сілмен берілген кезде оның жылдамдығ ының шамасы мен кең істіктегі бағ ыты қ андай ө рнектер арқ ылы анық талады?

11. Нү ктенің ү деуі дегеніміз не?

12. Нү кте қ озғ алысы векторлық тә сілмен берілген кезде оның ү деуі қ андай ө рнекпен табылады?

13. Нү кте қ озғ алысы координаталық тә сілмен берілген кезде оның ү деуінің шамасы мен кең істіктегі бағ ыты қ андай ө рнектер арқ ылы анық талады?