Атты дене кинематикасы

Теориялық механиканың басқ а да бө лімдері сияқ ты бұ л жерде қ аралатын барлық дене тек абсолют қ атты дене деп есептелінеді. Кинематиканың негізгі есептеріне жататындар: 1) қ озғ алыстың берілу тә сілін анық тау жә не жалпы дене ү шін оның кинематикалық характеристикаларын зерттеу; 2) денеге тиісті жеке нү ктелер ү шін олардың кинематикалық характеристикаларын (траекториясын, жылдамдығ ы мен ү деуін) анық тау.

Денелердің қ озғ алысын бес қ арапайым тү рге бө луге болады. Олар:

· ілгерілемелі

· айналмалы

· жазық -параллель

· сфералық

· еркін

Дененің келтірілген осы қ озғ алыстарының бә рі ү шін мынандай теорема орынды саналады (дененің екі нү ктесінің проекциясы жө ніндегі теорема).

Ø Теорема. Дененің кез-келген қ озғ алысы ү шін оның екі нү ктесінің жылдамдық тарының нү ктелерді қ осатын тү зуге болғ ан проекциялары ө зара тең.

Дә лелдеу. Дененің кез-келген екі А жә не В нү ктелерін алайық. Олардың , радиус-векторларын жә не векторын жү ргізейік. Онда 3.1-суреттен кө ретініміз:

= + .

Бұ л тең дікті уақ ыт бойынша дифференциялдасақ, табатынымыз:

.

Немесе

.

Сурет

Қ озғ алып бара жатқ ан дене абсолют қ атты болғ андық тан, . Модулі тұ рақ ты болғ ан вектордың туындысы ә рқ ашан дифференциялданатын вектордың ө зіне перпендикуляр екені бізге математиканың жоғ ары курсынан белгілі, яғ ни:

^ .

Олай болса, векторды АВ тү зуінің бағ ытына проекцияласақ, онда

. (3.1)

Осымен жоғ арыда келтірілген теорема дә лелденді.

Бұ л жерде айрық ша айта кететін жә йт, механиканың кө п есептерін шешкен кезде (3.1) ө рнегінің мә ні жоғ ары болып есептеледі.

§3.2. Қ атты дененің ілгерілемелі қ озғ алысы

Қ атты дененің ілгерілемелі қ озғ алысы дененің қ арапайым қ озғ алыстарының біріне жатады. Қ атты дененің ілгерілемелі қ озғ алысы деп оның кез-келген екі нү ктесін қ осатын тү зу дене қ озғ алғ анда ө зінің алғ ашқ ы кү йіне ә рдә йім параллель болып қ алатын қ озғ алысты айтады. Мысалы: автомобиль тү зу жолдың бойымен жү ріп келе жатқ ан шағ ындағ ы оның кузовының қ озғ алысы, двигатель поршенінің қ озғ алысы, паровоз дө ң гелектеріндегі екі ө стің кривошиптерін бірлестіретін спарниктің қ озғ алысы жә не тағ ы тағ ылар.

Дене қ озғ алмайтын хOyz ө стеріне қ атысты ілгерілемелі қ озғ алып бара жатқ ан болсын 3.2-сурет.

Сурет

Денеге тиісті кез-келген оның А нү ктесін таң дап алайық. Оғ ан денемен қ атаң бекітілген жә не осы ө стерге параллель болғ ан х¢ Аy¢ z координаттар жү йесін ө ткізейік. Дене ілгерілемелі қ озғ алыста болғ ан кезде х¢ y¢ z ¢ координаттар жү йесі хOyz координаттар жү йесіне паралелль. Олай болса, А нү ктенің векторлық тең деуінің кө рінісі тө мендегідей жазылады:

, (3.2)

Бұ л ө рнек тік сызық ты декарт координаталарында мынандай кө рініске ие:

(3.3)

Табылғ ан (3.2) жә не (3.3) ө рнектер А нү кте мен х¢ y¢ z ¢ координаттар жү йесінің кез-келген уақ ыттағ ы алатын орындарын анық тайды. Олай болса, қ озғ алып бара жатқ ан қ атты дененің де қ озғ алмайтын ө стерге қ атысты алатын орнын тауып беруге мү мкіндік береді. Себебі координаттар жү йесі х¢ y¢ z¢ денемен қ атты бекітілген. Сондық тан да (3.2) жә не (3.3) ө рнектер дененің ілгерімелі қ озғ алысының тең деулері деп аталады.

Дененің ілгерілемелі қ озғ алысының қ асиетін мынандай теорема анық тайды.

Ø Теорема. Ілгерілемелі қ озғ алғ ан кезде дененің барлық нү ктелері бірдей траекториямен қ озғ алып олардың ә р-бір кезең дегі сә йкес жылдамдық тары мен ү деулері ө зара тең.

Дә лелдеу. Берілген дене хOyz координаттар жү йесіне қ атысты ілгерілемелі қ озғ алыста болсын (3.3-сурет).

Сурет

Кең істіктегі алатын орындары жә не радиус-векторларымен анық талатын екі А жә не В нү ктелелерін қ арастырайық. Онда

= + . (3.4)

Дененің уақ ыт t болғ ан кездегі орны I, ал уақ ытқ а сә йкес келетін орны II анық талсын. Дене ілгерілемелі қ озғ алыста болғ андық тан АВ||A¢ B¢. Демек, АВ =A¢ B¢. Олай болса . Бұ л деген сө з, дененің кез-келген екі нү ктелерінің радиус-векторлары бір-бірінен шама жағ ынан тұ рақ ты бір векторғ а ғ ана айырмашылық жасайтынын кө рсетеді, яғ ни:

.

Олай болса В нү ктенің траекториясын векторының бағ ыты бойынша АВ қ ашық тық қ а А нү ктенің траекториясын жылжыта отырып табуғ а болады. Демек, бұ л нү ктелердің траекториялары бірдей.

Дененің А жә не В нү ктелерінің жылдамдық тарын анық тау ү шін жоғ арыда келтірілген (3.4) ө рнегінен уақ ыт бойынша дифференциал аламыз. Онда

.

Бірақ болғ андық тан, . Демек,

, (3.5)

яғ ни А мен В нү ктелерінің кез-келген уақ ыттағ ы жылдамдық тарының шамалары мен алатын бағ ыттары бірдей. Енді (3.5) ө рнегінен уақ ыт бойынша туынды алсақ, онда

, (3.6)

яғ ни А мен В нү ктелерінің кез-келген уақ ыттағ ы (3.6) ү деулерінің шамалары мен алатын бағ ыттары бірдей. Бұ л теоремадан дененің ілгерілемелі қ озғ алысын оның кез-келген бір нү ктесінің қ озғ алысы ретінде қ арастыруғ а болады екен. Сонымен дененің ілгерілемелі қ озғ алысына тә н есептер жоғ арыда қ арастырылғ ан нү кте кинематикасының есептеріне жатады екен.

§3.3. Қ атты дененің айналмалы қ озғ алысы

Дененің кезектегі қ арапайым қ озғ алысының бірі ол оның айналмалы қ озғ алысы.

Екі нү ктесі қ озғ алмайтын дененің қ озғ алысын оның айналмалы қ озғ алысы деп атайды.

Бұ л нү ктелерден ө тетін тү зу айналу ө сі деп аталады. Дене айналғ ан кезде осы ө сте жататын барлық нү ктелері де қ озғ алмайды. Ал ө сь бойында жатпайтын дененің барлық нү ктелерінің траекториялары айналу ө сіне перпендикуляр болғ ан жазық тық та центрі осы ө стің бойында жатқ ан шең берлерді сызады.

Мысалы, шатунды-кривошипті механизмдегі кривошиптің қ озғ алысы, қ озғ алмайтын ө сі бар дө ң гелек қ озғ алысы, булы турбина қ озғ алысы, сағ ат тілінің қ озғ алысы жә не т.т.

Айналмалы қ озғ алыстың тең деуі

Дене қ озғ алмайтын z ө сінің тө ң ірегінде айналып жатқ ан болсын (3.4-сурет). Осы айналып тұ рғ ан дененің кез-келген уақ ыттағ ы орнын анық тау ү шін z ө сінен ө тетін екі жазық тық таң дап аламыз. Оның бірі қ озғ алмайтын I жазық тығ ы, екіншісі денеге қ атты бекітілген жә не онымен бірге қ озғ алатын II жазық тығ ы. Бұ л жердегі қ озғ алмайтын жазық тық пен қ озғ алатын жазық тық арасындағ ы j бұ рышы дененің айналу бұ рышы деп аталады. Ол қ озғ алмайтын жазық тық тан қ озғ алатын жазық тық қ а қ арап есептеледі. Оның ө лшем бірлігі радиан

Сурет

Айналу бұ рышы оң деп қ абылданады, егер айналу ө сінің ұ шынан қ арағ анда ол сағ ат тіліне қ арама-қ арсы бағ ытта есептелінсе.

Егер бірер-бір уақ ыт ішіндегі дененің айналым саны N белгілі болса, онда оғ ан сә йкес келетін j бұ рышы

j = 2pN. (3.7)

тең. Бұ л жердегі j бұ рышы қ озғ алатын жазық тық тың кез-келген уақ ыттағ ы орнын анық тағ андық тан ол дененің ө зінің де орнын анық тайды. Сонымен қ атар, дене айналғ анда j бұ рышы ө зінің мә нін уақ ытқ а байланысты ө згертіп отырады, яғ ни:

. (3.8)

Табылғ ан (3.8) ө рнек қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегіндегі дененің айналмалы қ озғ алысының тең деуі деп аталады.

§3.4. Бұ рыштық жылдамдық пен бұ рыштық ү деу

Айналу бұ рышының уақ ытқ а байланысты ө згеру тездігі бұ рыштық жылдамдық деп аталады. Егер уақ ыт аралығ ында айналу бұ рышының ө сімі болса, онда орташа бұ рыштық жылдамдық тө мендегідей формуладан анық талады:

. (3.9)

Белгіленген уақ ыттағ ы бұ рыштық жылдамдық тың ө зін табу ү шін болғ ан кездегі (3.9) ө рнегінің шегін анық тауымыз керек, яғ ни

. (3.10)

Сонымен берілген мезеттегі дененің бұ рыштық жылдамдығ ы дегеніміз айналу бұ рышынан уақ ыт бойынша алынғ ан бірінші туындыны айтады. Оның ө лшем бірлігі рад/с. (3.10) формуласымен есептелетін бұ рыштық жылдамдық алгебралық шама. Ол ол оң да, теріс те болуы мү мкін. Егер дене сағ ат тіліне қ арама-қ арсы бағ ытта айналатын болса, онда айналу j бұ рышының шамасы ө седі. Бұ л кезде w > 0. Ал дене сағ ат тілінің бағ ытымен айналса, онда w< 0. Олай болса, бұ рыштық жылдамдық тың таң басы дененің айналу бағ ытын анық тайды екен. Демек, бұ рыштық жылдамдық ты модулі болғ ан, ал бағ ыты дененің айналу ө сімен бағ ыттас болғ ан вектор ретінде қ арауғ а болады, егер оның ұ шынан қ арағ ан кезде дене сағ ат тіліне қ арама-қ арсы бағ ытта айналатын болса.

Уақ ытқ а байланысты бұ рыштық жылдамдық тың ө згеру тездігін сыйпаттайтын шама бұ рыштық ү деу деп аталады. Егер уақ ыт аралығ ында бұ рыштық жылдамдық тың ө сімі

болса, онда осы аралық тағ ы орташа бұ рыштық ү деу

(3.11)

тең.

Белгіленген уақ ыттағ ы бұ рыштық ү деудің ө зін табу ү шін болғ ан кездегі (3.11) ө рнегінің шегін анық тауымыз керек, яғ ни

, (3.12)

Сонымен берілген мезеттегі дененің бұ рыштық (3.12) ү деуі дегеніміз бұ рыштық жылдамдық тан уақ ыт бойынша алынғ ан бірінші туындыны, немесе айналу бұ рышынан уақ ыт бойынша алынғ ан екінші туындыны айтады. Оның ө лшем бірлігі рад/с².

Егер w мен e шамаларының таң балары бірдей болса, онда w ө сіп, дененің айналысы ү демелі, ал таң балары бір-біріне қ арама-қ арсы болса, онда дененің айналысы кемімелі болып есептелінеді.