Полный факторный эксперимент. Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации опытов n независимых управляемых факторов

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации опытов n независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируется на k уровнях. Необходимое число опытов N при ПФЭ равно N = kⁿ. Если число уровней составляет 2, то N= 2 ⁿ.

Рассмотрим случай двухфакторного эксперимента, для которого уравнение регрессии неполной квадратичной модели имеет вид:

(4.4)

где х₁ и х₂ - значения факторов;

b₀ - свободный член, равный отклику при х₁=х₂ = 0;

b₁, b₂ - коэффициенты регрессии, показывающие степень влияния соответствующих факторов на параметр оптимизации;

b₁₂ - коэффициент, указывающий на наличие эффекта взаимодействия двух факторов (парного взаимодействия).

Если в качестве базовой модели выбран полином первой степени, то каждый фактор варьируется на двух уровнях, например, х₁=х₁^min и х₁=х₁^max, а интервал варьирования равен:

Dх₁=(х₁^max-х₁^min) /2.

Если выбран полином второй степени, то каждый фактор необходимо варьировать уже на трех уровнях:

х₁=х₁^max; х₁=х₁⁰; х₁=х₁^min.

При планировании ПФЭ преобразуют размерные (натуральные) значения факторов х_i в безразмерные (кодовые) Х_i по следующей зависимости:

Х_i=x_i-x_i⁰/Dx_i, i= 1, 2, 3, …, n. (4.5)

где x_i⁰ - базовые значения i -го фактора (значение нулевого или основного уровня).

Такое нормирование дает возможность легко построить ортогональную матрицу планирования и значительно облегчить дальнейшие расчеты.

В этом случае верхние и нижние уровни варьирования Х_i^в и Х_i^н в относительных единицах равны соответственно +1 и -1 независимо от физической природы факторов, значений базовых уровней и интервалов варьирования Dх_i.

При увеличении числа факторов n > 2 проводят последовательное достраивание матриц ПФЭ (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Планы двухфакторных экспериментов

Отметим следующие два важных свойства рассмотренных планов:

1) Оси симметричны относительно центра эксперимента

i= 1, 2, 3, … n; j= 1, 2, 3, … N.

Сумма значений любого столбца равна нулю.

2) Эти планы нормированы

i= 0, 1, 2, 3, … n; j= 0, 1, 2, 3, … N.

Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов.

Основным преимуществом планов, обладающих указанным свойствами, является возможность проведения родственной (независимой) оценки коэффициентов регрессии.

После составления плана эксперимента приступают к его реализации. На исследуемый процесс влияют не только выбранные факторы х_i, но и еще ряд факторов, которые могут быть вообще неизвестны исследователю. Для того, чтобы внести элемент случайности влияния этих факторов на результат эксперимента (а это необходимо для обоснованного использования аппарата математической статистики), приходится проводить m параллельных опытов и устанавливать случайный порядок проведения опытов во времени. Эта процедура называется рандомизацией (перемешиванием) и выпприступают к его реализации. На исследуемый процесс влияют не только выбранные факторы хi, но и еще ряд факторов, которые могут быть вообще неизвестны исследователю. Для того, чтобы внести элемент случайности влияния этих факторов на результат экспериментахрена:

(4.6)

где s_j² - выборочная дисперсия выходной величины y по j строке матрицы планирования, полученная из m параллельных опытов:

(4.7)

где y_ij - значение выходной величины по j строке матрицы планирования (j изменяется от 1 до N) из i -го параллельного опыта (i изменяется от 1 до m);

` y_j - среднее значение выходной переменной, полученное из параллельных опытов по j строке матрицы планирования;

s_j²_max - наибольшая из дисперсий в строках плана;

G_{(0, 05; Ф1; Ф2)} - табличное значение критерия Кохрена при 5% уровне значимости;

Ф₁ = m -1; Ф₂ = N.

Если вычисленное значение окажется меньше табличного, то гипотеза об однородности дисперсий принимается. Делается вывод о воспроизводимости экспериментов. В противном случае необходимо принять меры по повышению воспроизводимости опытов.

В случае воспроизводимости процесса рассчитывают коэффициенты уравнения регрессии. Независимые оценки b₀, b_i, b_ik соответствующих коэффициентов b₀, bi, b_ik, (b₀® b₀, b_i®b_i, b_ik®b_ik) находят по следующим формулам:

или (4.8)

или (4.9)

или (4.10)

После определения оценок коэффициентов регрессии b_ik необходимо проверить гипотезу об их значимости. Проверяют гипотезу с помощью критерия Стьюдента. Если выполняется условие:

ç b_i ÷ ³ t_{Ф; a} , Ф = N(m -1) (4.11)

где – дисперсия коэффициентов, (4.12)

а – дисперсия воспроизводимости, (4.13)

то данный коэффициент является статистически значимым. Все коэффициенты, для которых это условие не выполняется, являются незначимыми и они из уравнения регрессии исключаются вместе с соответствующим фактором, при этом оставшиеся коэффициенты не пересчитываются.

Проверяют гипотезу об адекватности полученной математической модели результатом эксперимента с использованием критерия Фишера. Модель адекватна, если выполняется неравенство:

, если s²_ад < s²_у (4.14)

где - дисперсия адекватности (остаточная дисперсия)

(4.15)

где d – число значимых коэффициентов уравнения регрессии, включая и b₀.

- рассчитанное по модели значение отклика (параметра оптимизации) в j опыте.

Ф₁ = N(m -1); Ф₂ = N - d.

Если же > , то рассчитывают критерий Фишера, исходя из отношения:

(4.16)

Гипотеза об адекватности может быть принята, если

, при этом Ф₁ = N - d, Ф₂ = N(m -1).

В том случае, когда гипотеза об адекватности модели отвергается, необходимо переходить к более сложной форме математического описания, либо, если это возможно, провести эксперимент с меньшим интервалом варьирования.

После проверки на адекватность, выполняют переход от кодированных значений факторов к натуральным по уже известной зависимости

, i= 1, 2, …, n. (4.17)

Для двухфакторного эксперимента:

(4.18)

Пример планирования полного факторного