В генеральной совокупности

Если подсчитать число дефектных изделий в произвольно отобранной выборке объемом n, взятой методом случайного отбора, например, из генеральной совокупности со средней долей дефектных изделий в технологическом процессе равно р¢, то поскольку известно, что это число подчиняется биномиальному распределению, определяют вероятность превышения числом дефектных изделий значения r.

Вместе с тем при условии р¢ £ 0, 5 и nр¢ ³ 5 биномиальное распределение может приблизиться к нормальному распределению. Другими словами, в биномиальном распределении:

Среднее значение равно nр¢;

Среднее квадратическое отклонение равно .

Исходя из этого статистику U₀ определяют по формуле:

(2.11)

Пример 2.7.

Прежде средняя доля дефектных изделий в технологическом процессе составляла 11, 5%. После внесения в технологический процесс усовершенствований была взята выборка объемом 70 шт., в которой число дефектных изделий оказалось равным 4. Можно ли утверждать, что различие имеет место?

Решение.

1. Н₀: р¢ = р¢ ₁.

2. Н₁: р¢ ¹ р¢ ₁.

3. Убеждаются в возможности приближения к нормальному распределению n^.p¢ = 70× 0, 115 = 8, 05 > 5, p¢ = 0, 115 < 0, 5, следовательно можно считать приближение к нормальному распределению возможным.

4. Вычисляют по выражению (2.11) статические оценки:

5. Принимают решение:

>

поэтому нельзя считать, что усовершенствования были эффективными.

Вариант задания

Вариант задания определяется последней цифрой номера зачетной книжки студента, которая определяет конкретные числовые значения различных параметров, приведенных в пояснении к каждому заданию.

1. Выход годной продукции в технологическом процессе составлял: среднее арифметическое m = 86, 5%, среднее квадратическое отклонение s = 4, 5%. После внесения в технологический процесс усовершенствований собранное в течение пяти дней (n= 5) данные составили 90, 3%. Можно ли утверждать, что выход годного увеличился?

К числу дней n= 5 необходимо прибавить последнюю цифру из номера зачетной книжки.

2. Десять разных термопар откалиброваны по стандартной, которая показывала 1000⁰С. В таблице приведены показания термопар:

Можно ли считать, что эти отклонения обусловлены нормальными вариациями случайной величины - показаний в ⁰С, или на их характеристики повлиял некоторый фактор (при изготовлении или транспортировке)?

Из десяти термопар исключаются показания той термопары, порядковый номер которой совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

2. На штамповочном автомате изготавливают поковки. Мастер участка случайным образом отобрал десять поковок. При взвешивании получили следующие результаты:

Можно ли с вероятностью 95% считать, что масса заготовки соответствует заданию – 550 г.?

Из десяти значений нужно исключить массу поковки, порядковый номер которой совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

4. Измерив твердость образцов, обработанных по режимам А и В, получили следующие результаты:

Можно ли утверждать, что в дисперсии имеется расхождение?

К значениям твердости прибавить последнюю цифру номера зачетной книжки.

6. На штамповочных автоматах А и В изготавливают одинаковые поковки. Мастер участка случайным образом отобрал по десять поковок с каждого автомата. При взвешивании получили следующие результаты:

Можно ли с вероятностью 95% утверждать, что точность поковок на автомате В выше, чем на автомате А?

Из таблицы исключить столбик, номер которого совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

6. По данным предыдущего задания проверить, можно ли с вероятностью 95% утверждать, что автоматы настроены одинаково?

7. Измерив твердость образцов, обработанных по режимам А и В, получили следующие данные:

Проверить, существенно ли различие в средних значениях твердости образцов, обработанных по режимам А и В.

К значениям твердости прибавить последнюю цифру номера зачетной книжки.

8. В результате испытаний 16 образцов из алюминиевого сплава на разрыв было определено среднее арифметическое значение предела прочности: МПа. При этом среднее квадратическое отклонение по генеральной совокупности составляло s = 30 МПа. Найти границы 95%-ного доверительного интервала для величины предела прочности s_в.

К числу испытаний n= 16 прибавить число, равное последней цифре номера зачетной книжки.

8. По результатам 50-ти измерений усилия прокатки были подсчитаны среднее значение усилия кН и выборочная дисперсия

s_е =1, 21^.10⁴ (кН)². Определить границы доверительного интервала при доверительной вероятности 95%.

К числу измерений n= 50 прибавить последнюю цифру номера зачетной книжки.

10. В условиях технологического процесса, когда средняя доля дефектных изделий составляла 3%, однажды произвели сплошную проверку 500 изготовленных изделий, среди которых было обнаружено 25 дефектных. Возникли ли в технологическом процессе отклонения?

К числу дефектных изделий прибавить последнюю цифру номера зачетной книжки.