Методика построения логарифмических частотных характеристик САУ 3 страница

Рассмотрим систему с единичной обратной связью, корректирующим устройством и предшествующим фильтром.

Объект имеет передаточную функцию

,

а корректирующее устройство – передаточную функцию

.

Предшествующий фильтр должен иметь передаточную функцию

.

В этом случае передаточная функция замкнутой системы с предшествующим фильтром равна

.

С помощью табл.1 находим требуемые значения коэффициентов: и .

Если время установления (по критерию 2%) должно быть равно 2 с, то и, следовательно, . Тогда желаемый характеристический полином замкнутой системы будет иметь вид:

.

Отсюда находим, что s = 2, 84, z = 1, 34 и k = 6, 14. Переходная характеристика системы имеет значения с, с и с.

Приложение 5

Реализация цифровых регуляторов

Цифровые регуляторы могут быть реализованы в виде импульсных фильтров (на базе четырехполюсников в сочетании с квантователями и экстраполяторами), на основе микроЭВМ и цифровых устройств.

Передаточная функция цифрового регулятора в соответствии с рис.7.4б будет (7.13)

причем всегда должно быть n≥ m.

Разделим числитель на знаменатель на zⁿ. Тогда для предельного случая n=m

(7.14)

Если a₀=1, тоиз (7.14) можно получить линейный алгоритм работы цифрового управляющего устройства:

u[k]=b₀e[k]+b₁e[k-1]+…+b_me[k-n]- (a₁u[k-1]+a₂u[k-2]+…+a_nu[k-n]). (7.15)

Из полученных соотношений можно установить, что цифровой регулятор оказывается физически реализуемым, если в (7.14) нет слагаемых с положительной степенью z. Наличие хотя бы одного члена в(7.14) с положительной степенью z означает «упреждение», т.е. показывает, что выходной сигнал опережает входной. В равной степени это относится и к слагаемым уравнения (7.15), т.е. значение u[k] будет определятьсязначениями опережающих его слагаемых u[k+1] и e[k+1].

Условием физической реализуемости цифрового регулятора, таким образом, является выполнение условия n≥ m. Кроме того, при n=m знаменатель (7.14) не должен иметь сомножителя z^-1 при b₀ ≠ 0, т.е. должно быть также a₀≠ 0.

К цифровым регуляторам предъявляются требования к точности реализации параметров при их вычислении с ограниченной разрядностью процессоров.

Для обеспечения устойчивости регуляторов должно выполняться условие расположения полюсов их передаточной функции внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Передаточная функция цифрового регулятора обычно реализуется в виде программы ЭВМ, реализуемых методами прямого, последовательного и параллельного программирования.

При прямом программировании из передаточной функции (7.14) запишем уравнение в форме обратного преобразования:

(7.16)

решением которого будет:

(7.17)

В общем виде уравнение (7.17) может быть представлено, как разность двух групп слагаемых входного и выходного сигналов:

(7.18)

Для последовательного программирования передаточную функциюрегулятора представляют в виде произведения простейших передаточных функций, каждая из которых реализуется простейшими программами:

(7.19)

где p – наибольшее из чисел n и m. Для каждой простейшей программы используется метод прямого программирования.

При параллельном программировании передаточная функция (7.14) представляется в виде (7.20)

где p – наибольшее из чисел n и m. Здесь также каждая из передаточных функций может быть реализована методом прямого программирования.

Пример 1

Пусть передаточная функция цифрового регулятора имеет вид:

Регулятор является физически реализуемым (n=2, m=1 при и устойчивым (полюсы z₁=0.5, z₂=0.1).

1. Прямое программирование.

Из передаточной функции запишем линейное уравнение регулятора:

Выразим обратное z- преобразование к обеим частям уравнения:

Применяя метод прямой (непосредственной) декомпозиции к предыдущему уравнению

,

где или ,

получим систему:

Структура решения данной системы уравнений приведена на рис.1.

Рис.1. Прямое программирование передаточной функции

2. Последовательное программирование.

Передаточную функцию регулятора запишем в виде произведения двух функций, например, вида:

Программирование выполним, представив произведение передаточных функций системой уравнений:

X(z)=(1+0.25z^-1)E(z)+0.5z^-1X(z)

U(z)=5X(z)+0.1z^-1U(z).

Структурная схема решения системы приведена на рис.7.9.

Рис.7.9 Последовательное программирование передаточной функции

3. Параллельное программирование.

Разложим передаточную функцию регулятора на сумму простейших:

Составим систему уравнений, U(z)=U₁(z)-U₂(z)

U₁(z)=9.375E(z)+0.5z^-1U₁(z)

U₂(z)= 4.375E(z)+0.1z^-1U₂(z),

структурная схема решения системы приведена на рис.7.10.

Рис.2. Параллельное программирование передаточной функции

Для преобразования сложной дискретной передаточной функции к алгебраической сумме элементарных используйте две леммы высшей

алгебры:

Лемма 1. Пусть - правильная рациональная дробь с действительными
коэффициентами и пусть S₁ есть вещественный корень полинома Q(s)

кратности r, тогда существует такое число А и такой полином P₁(s), что

справедливо равенство

,

где ; при этом - правильная рациональная дробь.

Лемма 2. Пусть - правильная рациональная дробь с действительными
коэффициентами и Q(s)=(s²+ps+q)^m∙ V(s), где , корни полинома не

являются корнями полинома V(s), V(s) не делится нацело на (s²+ps+q).

Тогда найдутся такие вещественные числа M и N и такой полином P₁(s), что

,

где второе слагаемое будет также правильная рациональная дробь.

Пример:

Здесь использован метод неопределённых коэффициентов:

Примечание:

1. .

2. Теорема о разложении многочлена на множители:

«Каждый (действительный или комплексный) многочлен степени относительно может быть единственным способом представлен в виде произведения постоянной и линейных множителей , именно

где - корни многочлена ; корню кратности соответствует множителей . Каждая пара множителей и , соответствующая паре комплексных сопряжённых корней и ,

может быть объединена в действительный квадратный множитель ».

Пример 2

Передаточная функция аналогового корректирующего устройства имеет вид

.

Определите дискретную передаточную функцию цифрового алгоритма управления объектом путём преобразования аналогового регулятора в цифровой при периоде квантования сигналов T=0, 02с. Проверьте адекватность преобразования по амплитудно-фазовым частотным характеристикам непрерывного и цифрового корректирующих звеньев. Составьте программу работы ЦВМ на основании полученной дискретной передаточной функции и постройте структурную схему реализации алгоритма дискретного корректора.

Решение

Для получения дискретного аналога корректирующего алгоритма в форме обратных разностей используем аппроксимационную формулу Тастина

,

приведём первый коэффициент знаменателя к 1 и разделим числитель и знаменатель дискретной передаточной функции на :

.

Из последнего выражения

,

.

Обратное Z -преобразование этого выражения – рекуррентная форма дискретного управляющего алгоритма:

.

Структурная схема реализации полученного алгоритма в микроЭВМ представлена на рис.1.

Рис.1. Структурная схема дискретного управляющего алгоритма

Греческий алфавит

Название буквы	Прописная	Строчная	Название буквы	Прописная	Строчная
Альфа			Ню
Бета			Кси
Гамма			Омикрон
Дельта			Пи
Эпсилон			Ро
Дзета			Сигма
Эта			Тау
Тета			Ипсилон
Йота	I	i	Фи
Каппа			Хи
Лямбда			Пси
Мю			Омега

Список рекомендуемой литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления: Учебник – СПб: Изд-во «Профессия», 2003-2007.-752 с.

2. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы.- М.: Наука, 1976.-576с.

3. Васильев Е.М., Коломыцев В.Г. Теория автоматического управления. Нелинейные системы: Учебное пособие – Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011.-115с.

4. Васильев Е.М., Коломыцев В.Г. Теория автоматического управления. Дискретные системы: Учебное пособие – Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2012.-152с.

5. Денисенко В.В. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием. — М.: Горячая линия-Телеком, 2009.-608с.

6. Диркс Г.Г., Коломыцев В.Г. Проектирование микропроцессорных систем автоматического управления. Ч.1. Синтез систем автоматического управления: Учебное пособие - Пермь: Изд-во ПГТУ, 1997.-175с.

7. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления: Учебник-М.: Изд-во «Лаборатория Базовых Знаний», 2002-2004.- 832 с.

8. Душин С.Е., Зотов Н.С., Имаев Д.Х. и др. Под ред. В.Б.Яковлева. Теория автоматического управления: Учебник - М.: Изд-во «Высшая школа», 2005.-567 с.

9. Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического управления. В 3-х т. Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Изд. МГТУ, Т1-2006, Т2-2008, Т3-2009.

10. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: пер. с англ.- М: Машиностроение, 1986. – 448 с.

11. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью: Учебник - М.: Изд-во «Лаборатория Базовых Знаний», 2001. – 616 с

Основы работы в MATLAB

1. Введение

MATLAB — это интерактивная среда для научных и инженерных вычислений. В состав MATLAB входят основная программа (ядро) и специализированные пакеты прикладных программ (tооlbохеs), состоящие из так называемых М-файлов, расширяющих функциона­льные возможности основной программы. Один из этих пакетов, Control System Toolbox, в сочетании с основной программой дает возможность использовать MATLAB для анализа и синтеза систем управления.

При работе в среде MATLAB пользователь взаимо­действует с компьютером с помощью четырех основных объектов:

ü инструкции и переменные;

ü матрицы;

ü графические изображения;

ü скрипты.

MATLAB интерп­ретирует и обрабатывает входные данные в виде одного или нескольких этих объектов.

Мы опишем только основные функции программы MATLAB, наиболее полный перечень можно посмотреть в приложении.

Для более качественного изучения программы мы рекомендуем проделать все приведенные примеры и описания самостоятельно.

2. Инструкции и переменные

Инструкции имеют следующий общий вид: > > переменная = выражение.

В MATLAB используется опера­ция присваивания, так что знак равенства «=» означает, что некоторой переменной присва­ивается выражение справа от этого знака. Командная строка обозначается двумя направ­ленными вправо стрелками «> >».

Приведем пример инструкции для ввода матрицы размерности 2 х 2 и присвоения ей имени переменной А: > > A=[1 2; 4 6] < ret>.

Инструкция выполняется после возврата каретки (нажатия клавиши < Enter>).

После ввода инструкции, завершающегося нажатием клавиши < Enter>, матрица А автоматически отображается на экране. Если после инструкции следует точка с запя­той (;), то вывод матрицы А на экран подавляется. Тем не менее, присвоение матрице имени А сохраняется, хотя ее вывод на экран подавлен точкой с запя­той.

В выражениях могут быть использованы обычные символы математических опера­ций, приведенные в таблице 5.1. Порядок выполнения арифметических действий можно из­менить с помощью скобок.

Таблица 5.1

MATLAB различает верхний и нижний регистры, поэтому переменные Nит и num бу­дут иметь разный смысл.

В MATLAB имеется несколько переменных с заранее закрепленными за ними имена­ми:

ü NaN (сокращение от Not-a-Number) используется для обозначения неопределенного (нечислового) результата операции;

ü Inf соответствует +∞;

ü pi соответствует числу π;

ü i и j обозначают мнимую единицу и используются при арифметических операциях с комплексными числами.

Рассмотрим основные функции для работы с переменными:

who выводит на экран список всех переменных, хранящихся в рабочей области;

whos выводит на экран список переменных в рабочей области вместе с дополнительной информацией об их типе, размерности и занимаемой памяти;

clear удаляет из рабочей области все данные (переменные и функции);

cle­ar variables удаляет все переменные; clear name1 name2... удаляет переменные пате1 пате2 и т. д.;

format меняет формат вывода. Если задан какой-то определенный формат, то он сохраняет силу до тех пор, пока не будет изменен.

Приведем основные форматы вывода:

format long - 15-разрядное число с фиксированной точкой;

format long e - 15-разрядное число с плавающей точкой;

format long g - наилучший формат — 15 разрядов с фиксированной или плавающей точкой;

format short e - 5-разрядное число с плавающей точкой;

format short g - 5 разрядов с фиксированной или плавающей точкой;

format hex - шестнадцатиричный формат;

format bank -фиксированный формат для долларов и центов;

format - то же, что и format short.

3. Матрицы

Основной вычислительной единицей является матрица. Векторы и скаляры можно рассматривать как частные случаи матрицы. Матрица обычно заключается в квадратные скобки, [•]. Элементы столбца отделяются пробелами или запятыми, а строки разделяют­ся точками с запятой или возвратом каретки.

Способ записи матриц был рассмотрен в пункте 2. Матрицы можно вводить посредством записи нескольких строк, завершая их точкой с запятой и возвратом каретки или просто возвратом каретки. Это очень удобно при вводе больших матриц.

Элементы матриц могут быть комплексными числами либо содержать тригонометрические и элементарные математические функции.

К основным матричным операциям относятся сложение, вычитание, транспонирова­ние, возведение в степень и так называемые операции над массивами. Символы математи­ческих операций над матрицами остаются такими же, как были рассмотрены ранее.

В MATLAB имеется возможность левостороннего и правостороннего деления матриц.

При сложении и вычитании матриц они должны иметь одинаковую размерность. Если матри­ца А имеет размерность п х т, аматрица В — размерность p x r, то А ± В имеет смысл то­лько тогда, когда п = р, а т = r. Умножение матриц А* В возможно только в случае т = р. Особым случаем является умножение матрицы на вектор. Предположим, что b есть век­тор (столбец) из р элементов. Умножение матрицы А размерности n x m на вектор b воз­можно только в случае т = р. В результате будет получен вектор у = A* b размерности n х 1.

Транспонирование матрицы обозначается символом апострофа ('). С помощью опе­раций транспонирования и умножения можно получить так называемое внутреннее про­изведение векторов. Поясним это на примере. Предположим, что w и v есть векторы раз­мерности т х 1. Тогда их внутреннее произведение (известное также как произведение с точкой) находится как w' * v. Внутреннее произведение двух векторов дает скалярную ве­личину. Аналогично можно вычислить внешнее произведение двух векторов как w * v'. Внешнее произведение двух векторов размерности т х 1 дает матрицу размерности m x m, ранг которой равен 1.

Основные матричные операции можно заменить поэлементными действиями с испо­льзованием периодически действующего предшествующего оператора. Такие процедуры известны как операции над массивами. Самые простые операции над массивами приве­дены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Математические операторы, применяемые к массивам

Необходимо оста­новиться на представлении данных с использованием двоеточия: x=[xi: dx: xf]. Такое представле­ние позволяет сформировать вектор, компо­нентами которого являются числа, начинающиеся со значения x_i и заканчивающиеся зна­чением x_f, следующие друг за другом с заданным шагом dx.