Методика построения логарифмических частотных характеристик САУ 1 страница

Пусть передаточная функция разомкнутой статической САУ, состоящей из минимально-фазовых звеньев 1-го порядка, имеет вид в реальных системах n£ (m-n).

Отобразим W(р) в область преобразований Фурье; преобразуем математическое описание каждого элементарного звена к форме и расположим в порядке убывания величины Т_i:

Тогда

Алгоритм построения ЛАЧХ:

1. На оси w нанесите точки w_i=1/T_i. Проведите через эти точки вертикальные штриховые линии.

2. Проведите контурную линию с ординатой 20lgk слева до первой вертикальной линии при отсутствии нулевых полюсов и нулей в передаточной функции или линию с наклоном -20дБ/дек через точку при одном нулевом полюсе, или линию с наклоном -40 дБ/дек через точку при двух нулевых полюсах, или линию с наклоном +20 дБ/дек через точку при одном корне числителя, равном нулю, или линию с наклоном +40 дБ/дек через точку при двух нулях, равных нулю, и т.д.

3. До следующей вертикальной линии проведите контурную линию с наклоном -20*u дБ/дек (u – количество элементарных звеньев с одинаковыми Ti), если звенья апериодические, или +20*u дБ/дек для дифференцирующих звеньев первого порядка.

4. Уменьшите (увеличьте) наклон на -20*u дБ/дек (+20*u дБ/дек) на следующей вертикальной линии до полного построения L(w).

Высокочастотные асимптоты ЛАЧХ (справа от наибольшей сопрягающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.

Примечания:

1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи w_i=1/T_i, вдали с асимптотами: левой 0 дБ/дек, правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка.

2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же.

3. ЛФЧХ строятся по точкам, рассчитанным аналитически.

Пример

Пусть задана передаточная функция объекта

.

Требуется построить асимптотическую ЛАЧХ объекта.

1. Выделение элементарных звеньев.

Вынесем множитель из каждой скобки так, чтобы свободный член в этой скобке был равен 1:

.

Корни квадратного трёхчлена в знаменателе комплексно-сопряжённые, поэтому можно представить заданную передаточную функцию в виде произведения передаточного коэффициента и четырёх передаточных функций элементарных звеньев:

,

,
где .

Звенья с передаточными функциями и - идеальные звенья с введением производной, второе из них – неминимально - фазовое. Звено с передаточной функцией - апериодическое звено, а звено с - колебательное, поскольку .

2. Определение сопрягающих частот.

Сопрягающие частоты – это точки излома ЛАЧХ. Они определяются как . Таким образом,

рад/с, рад/с,

рад/с, рад/с.

Поскольку при построении ЛАЧХ на оси абсцисс откладывается lgω, вычислим десятичные логарифмы этих частот:

_{, ,}

_{, .}

3. Построение ЛАЧХ.

Отметим найденные точки излома ЛАЧХ на оси абсцисс:

Поскольку интегрирующие и дифференцирующие звенья в системе отсутствуют, на низких частотах (примерно до первой сопрягающей частоты ) система имеет постоянное усиление, равное k=10. Учитывая, что амплитудная характеристика откладывается в логарифмическом масштабе (в децибеллах) получаем

20lgk=20lg10=20

и можно сразу нарисовать начальный участок ЛАЧХ:

На частоте вступает в действие апериодическое звено, которое даёт наклон -20 дБ/дек, в интервале от до график спускается вниз на

дБ, поэтому ордината для частоты равна дБ:

На частоте идеальное звено с введением производной добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен нулю:

На частоте неминимально – фазовое идеальное звено с введением производной ещё добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен +20 дБ/дек. В интервале от до график поднимается на дБ, поэтому ордината для частоты равна 9, 6+10, 4 20 дБ:

Наконец, на частоте колебательное звено добавляет наклон -40 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен -20 дБ/дек:

Приложение 3

Пример рекомендуемой последовательности действий при анализе

устойчивости системы

Пусть задана структурная схема (рис. 5) и параметры исследуемой системы.

Рис. 5. Структурная схема исследуемой системы

Алгоритм исследования устойчивости замкнутой САУ:

· определяем передаточную функцию замкнутой системы

где W_пк(p) – передаточная функция прямого канала системы; W_ос(p) – передаточная функция обратной связи;

· записываем характеристическое уравнение замкнутой системы:

(Т₁р+1)(Т₂р+1)(Т₃р+1)+k₁k₂k₃=0;

после преобразования этого выражения получим:

Т₁Т₂Т₃р³+(Т₁Т₂+Т₁Т₃+Т₂Т₃)р²+(Т₁+Т₂+Т₃)р+(1+k₁k₂k₃)=0;

обозначим:

а₀=T₁T₂T₃;

a₁=Т₁Т₂+Т₁Т₃+Т₂Т₃;

а₂=Т₁+Т₂+Т₃;

а₃=1+k₁k₂k₃;

тогда выражение примет стандартную форму:

а₀р³+а₁р²+а₂р+а₃=0;

· условия устойчивости замкнутой системы 3-го порядка:

1) а₀> 0, a₁> 0, a₂> 0, a₃> 0 (условие Рауса);

2) a₁a₂> a₀a₃ (условие Гурвица);

если условия устойчивости имеют место, то система устойчива;

· система на границе устойчивости, если выполняется равенство в условии Гурвица, отсюда определяется критическая величина передаточного коэффициента разомкнутой системы:

;

· заключение об устойчивости системы.

Приложение 4

Методы настройки параметров ПИД – регулятора

ПИД – регулятор был изобретён в 1910 году. Долгое время настройка параметров регулятора осуществлялась эвристическим ручным методом, основанным на интуиции и изобретательстве инженеров.

В 1942 году американские учёные J.G. Ziegler и N.B. Nichols (США, г. Рочестер, штат Нью-Йорк) при исследовании систем с ПИД – регуляторами обнаружили две закономерности:

· Оптимальная зона пропорциональности П – регулятора в два раза меньше величины зоны пропорциональности, при которой в САУ начинается автоколебательный процесс;

· Время изодрома T_i и время предварения T_d зависят от периода возникающих автоколебаний.

В качестве критерия оптимальности принята величина декремента затухания

D = 0, 2-0, 3. Декремент затухания D выражается через отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга на половину периода,

.

Зиглер и Никольс предложили два метода настройки ПИД – регулятора: первый основан на параметрах переходной характеристики, второй на частотных характеристиках объекта управления. Точность настройки параметров регулятора и недостатки обоих методов Зиглера – Никольса одинаковы.

1. Настройка параметров ПИД – регулятора по временному модифицированному методу Зиглера – Никольса.

Пусть известно математическое описание объекта второго порядка в форме передаточной функции

.

Требуется найти параметры ПИД - регулятора по параметрам переходной характеристики объекта.

Алгоритм расчёта:

1. Определяем переходную характеристику объекта и её производную, используя модель объекта в Simulink:

2. По максимальному значению производной находим точку перегиба переходной характеристики и проводим через неё касательную к переходной характеристике путём смещения характеристики интегрирующего звена ki/p изменением параметра a с помощью модели в Simulink (рис. 2), где ki = max[dh(t)/dt].

3. Определяем численные значения параметров a и L по графику переходной характеристики и касательной к ней в точке перегиба.

4. Определяем параметры ПИД – регулятора по формулам таблицы 1 [ ].

Таблица 1. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по временному методу Зиглера - Никольса

Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению

.

5. Строим модель системы с ПИД – регулятором в Simulink и проводим исследование САУ.

Пример 1

Передаточная функция объекта имеет вид

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по параметрам отклика объекта на единичный скачок.

1. Составляем модель исследования разомкнутой исходной системы в Simulink (рис. 1).

В состав алгоритмической структуры входит модель объекта, модуль формирования производной переходной характеристики, интегратор с передаточным коэффициентом, равным величине экстремума импульсной переходной характеристики и модуль сдвига переходной характеристики идеального интегрирующего звена так, чтобы она проходила через точку перегиба переходной характеристики объекта.

Рис. 1. Алгоритмическая структура для исследования разомкнутой исходной системы в Simulink

2. По отклику модели определяем базовые расчётные параметры: a = 0, 145 - величина смещения переходной характеристики интегрирующего звена в точку перегиба переходной характеристики объекта (точку перегиба переходная характеристика объекта и максимум производная этой характеристики h^’_max = 3, 704 проходят в один и тот же момент t_экстр. = 0, 1205), L = 0, 04- величина отрезка на оси времени, отсекаемого касательной к переходной характеристике в точке перегиба. Графики исследуемой модели приведены на рис.2.

3. Составляем скрипт в Matlab для расчёта параметров ПИД – регулятора:

a=0.145;

L=0.04;

k=1.2/a

Ti=2*L/k

Td=0.5*L*k

ki=1/Ti

kd=Td

и определяем настройки регулятора:

k = 8.2759, Ti = 0.0097c, Td =0.1655c, ki = 103.4483c^-1, kd =0.1655c.

Рис. 2. Графики исследуемой модели разомкнутой исходной системы: 1 - переходная характеристика объекта, 2 – производная переходной характеристики объекта, 3 - переходная характеристика интегрирующего звена, передаточный коэффициент которого равен максимуму производной переходной характеристики объекта (k_и = 3, 704), 4 - смещённая в точку перегиба переходной характеристики объекта переходная характеристика интегрирующего звена

4. Строим модель для исследования системы в Simulink (рис. 3).

На рис. 3 изображены (сверху – вниз) модели исследуемой системы с настройками регулятора по методу Зиглера – Никольса, системы с ручной настройкой параметров регулятора, объекта и модель формирования касательной в точке перегиба переходной характеристики объекта.

Рис. 3. Алгоритмическая структура для исследования скорректированной системы в Simulink

5. Снимаем переходные характеристики модели, изображенной на рис. 3, где обозначены: 1 – переходная характеристика объекта, 2 – касательная к переходной характеристике объекта в точке перегиба, 3 – переходная характеристика системы при настройке регулятора по методу Зиглера – Никольса, 4 - переходная характеристика системы при ручной настройке регулятора (k = 15, Ti = 0, 013c, Td = 0, 525c)

Рис. 4. Графики переходных характеристик модели, изображенной на рис. 3

2. Настройка параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера – Никольса.

Пусть известно математическое описание объекта управления в форме передаточной функции

или .

Требуется найти параметры ПИД - регулятора по частотному методу Зиглера –

Никольса.

Алгоритм расчёта:

1. Определяем по АФХ и ЛЧХ объекта частоту , при которой фазовый сдвиг

объекта равен -180^о.

2. Определяем передаточный коэффициент объекта на частоте .

3. Определяем период колебаний .

4. По табл. 2 Зиглера – Никольса определяем параметры ПИД – регулятора,

используя полученные данные и .

Таблица 2. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера - Никольса

	Расчёт по	частотным	параметрам
Регулятор	k	T и	T д
П	0, 5/
ПИ	0, 4/	0, 8 /k
ПИД	1, 6/	0, 5 /k	0, 125 k

Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению

.

5. Составляем в Matlab модели замкнутых исходной и с ПИД – регулятором систем

для построения переходных характеристик, по которым оцениваем устойчивость и

показатели качества.

Пример 2

Передаточная функция объекта имеет вид

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по частотным параметрам объекта управления.

1. Составляем модель в форме скрипта Matlab для определения АФХ и ЛЧХ объекта по его передаточной функции.

numo=[1];

deno=[10 11 1];

Wo=tf(numo, deno)

[nums, dens]=pade(0.3, 2)

Ws=tf(nums, dens)

Wir=Wo*Ws

nyquist(Wir)

%margin(Wir)

2. Определяем АФХ объекта и находим параметры =1, 87с^-1 и =|Real|=0, 0265.

3. Определяем ЛЧХ объекта и находим параметры =1, 84с^-1 и =10^{-31, 7/20}= 0, 026.

Параметры объекта, найденные по ЛЧХ, точнее параметров АФХ, поэтому принимаем их за основу.

4. Составляем скрипт для определения параметров ПИД – регулятора по полученным параметрам ЛЧХ: =1, 84с^-1 и =10^{-31, 7/20}= 0, 026. Расчётные формулы параметров ПИД – регулятора приведены в таблице 2 алгоритма расчёта.

k180=0.026;

w180=1.84;

T180=2*pi/w180

kn=0.6/k180

Tu=0.5*T180/kn

ku=1/Tu

Td=0.125*T180*kn

kd=Td

Расчётные параметры ПИД – регулятора: kn = 23.0769, ku = 13.5159, kd = 9.8503.

5. Составляем скрипт для определения переходных характеристик исходной и скорректированной замкнутых систем.

kp=23.0769;

ki=13.5159;

kd=9.8503;

numo=[1];

deno=[10 11 1];

Wo=tf(numo, deno)

[nums, dens]=pade(0.3, 2)

Ws=tf(nums, dens)

numi=[ki];

deni=[1 0];

Wi=tf(numi, deni)

numd=[kd 0];

dend=[1];

Wd=tf(numd, dend)

Wsr=minreal(Wo*Ws/(1+Wo*Ws))

step(Wsr)

%Wsrpid=minreal((kp+Wi+Wd)*Wo*Ws/(1+(kp+Wi+Wd)*Wo*Ws))

%step(Wsrpid)

6. Определяем переходную характеристику исходной (нескорректированной) системы, произведя «Пуск» скрипта п.5 в Matlab.

7. Определяем переходную характеристику скорректированной системы, сняв знак % в последних двух строках скрипта и установив % в двух предыдущих строках.

Показатели качества систем приведены на графиках.

3. Настройка параметров ПИД – регулятора по методу CHR (Chien – Hrones – Reswick).

Авторы этого метода использовали критерий максимальной скорости нарастания при отсутствии перерегулирования или при наличии не более чем 20% - ного перерегулирования. Такой критерий позволяет получить больший запас устойчивости, чем в методе Зиглера – Никольса.

Метод CHR (Чин – Хронес – Ресвик) даёт две разные системы параметров регулятора. Одна из них получена при наблюдении отклика на изменение уставки, решая задачу качества регулирования, вторая – при наблюдении отклика на внешние возмущения, решая задачу ослабления внешних возмущений.

Если важно и то и другое, то необходимо использовать регуляторы с двумя степенями свободы.

В этом методе объект аппроксимирован моделью первого порядка с задержкой:

.

Для расчёта параметров регулятора используются параметры переходной характеристики объекта: и .

Параметр определяется из выражения:

, отсюда ,

или из графика переходной характеристики объекта.

Формулы для расчёта параметров регулятора приведены в таблицах 3 и 4.

Таблица 3

Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на изменение уставки метода CHR

	Без перерегулирования	С 20% - ным перерегулированием
Регулятор
	k	Ти	Тд	k	Tи	Тд
П	0, 3/ а			0, 7/ a
ПИ	0.35/ a	1, 2 /k		0, 6/ a	1, 0 /k
ПИД	0, 6/ a	10 /k	0, 5 k	0, 95/ a	1, 4 /k	0, 47 k

Таблица 4

Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на внешние воздействия метода CHR

	Без перерегулирования	С 20% - ным перерегулированием
Регулятор
	k	Ти	Тд	k	Tи	Тд
П	0, 3/ а			0, 7/ a
ПИ	0.6/ a	4 /k		0, 7/ a	2, 3 /k
ПИД	0, 95/ a	2, 4 /k	0, 42 k	1, 2/ a	2, 0 /k	0, 42 k