Свойства кольца многочленов от нескольких переменных

Теорема 27.1. Если K – область целостности, то и K [ x₁, …, x_n ] – область целостности.

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру n.

1) Пусть n = 1: K [ x ] – область целостности по теореме 4.1;

2) Предположим, что утверждение верно при n = m, т.е. что K [ x₁, …, x_m ] – область целостности;

3) Докажем, что утверждение верно при n = m + 1. Действительно, K [ x₁, …, x_m+1 ] = K [ x₁ ] … [ x_m+1 ] = [ x_m+1 ] = K₁ [ x_m+1 ] – область целостности по 1).

Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно " n Î ℕ. Теорема доказана.

Теорема 27.2. Если K – факториальное кольцо, то и K [ x₁, …, x_n ] – факториальное кольцо.

Теорема 27.3. Если K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, то кольцо многочленов K [ x₁, …, x_n ] существует.

Доказательство теорем 27.2 и 27.3 проводится методом математической индукции по параметру n.

Теорема 27.4. Пусть K и K₁ – ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Если K @ K₁ и φ – изоморфизм K на K₁, то K [ x₁, …, x_n ] @ K₁ [ y₁, …, y_n ], причем существует изоморфизм ψ: K [ x₁, …, x_n ] → K [ y₁, …, y_n ], который продолжает изоморфизм φ, (т.е. " k Î K: ψ (k) = φ (k)) и ψ (x_i) = y_i, i= .

Следствие 27.4.1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда K [ x₁, …, x_n ] @ K [ y₁, …, y_n ].