Построение кольца многочленов от нескольких переменных

Рассмотрим подробнее кольцо K [ x₁, x₂ ]. По теореме 25.1 K [ x₁, x₂ ] =K [ x₁ ][ x₂ ] =(K [ x₁ ] ) [ x₂ ]. Пусть fÎ K [ x₁, x₂ ]. Тогда f=a₀+a₁x₂+ a₂x₂²+…+a_nx₂ⁿ, a_iÎ K [ x₁ ], i= . Так как a_iÎ K [ x₁ ], то a_i=a_i0+a_i1x₁+ a_i2x₁²+…+a_irx₁^r, a_ijÎ K, j= , причем r выбираем как наибольшую степень многочленов a₀, a₁, a₂, … a_n. Подставляя a_i в f, получим , где М – непустое конечное подмножество множества ℕ ₀²=ℕ ₀× ℕ ₀= ℕ ₀ , где ℕ ₀=ℕ ∪ {0}.

Аналогично рассуждая, нетрудно показать, что если fÎ K [ x₁, …, x_n ], то , где М – непустое конечное подмножество множества ℕ ₀ⁿ= ℕ ₀ . В дальнейшем вместо будем писать .

Определение 26.1. Пусть K – подкольцо ассоциативно-коммутативного кольца L с единицей, x₁, x₂, …, x_nÎ L. Элементы x₁, x₂, …, x_n называются алгебраически независимыми над K, если из следует, что , .

При n= 1 отсюда получаем определение алгебраически независимого элемента x₁ над кольцом K, которое совпадает с понятием трансцендентного элемента над K.

Методом математической индукции по параметру n нетрудно доказать следующую теорему.

Теорема 26.1. Элементы x₁, x₂, …, x_nÎ L алгебраически независимы над K тогда и только тогда, когда x_i является трансцендентным элементом над .

Определение 26.1. Кольцо K [ x₁, …, x_n ] называется n-кратным трансцендентным расширением кольца K, если x_i является трансцендентным элементом над . В этом случае кольцо K [ x₁, …, x_n ] называется кольцом многочленов от n переменных над кольцом K. Элементы кольца K [ x₁, …, x_n ] называются многочленами от n переменных над кольцом K, и обозначаются f, g или , и т.д.

Пусть fÎ K [ x₁, …, x_n ]. Тогда (1). Слагаемое в (1) называется членом многочлена f или одночленом.

Определение 26.3. Степенью одночлена многочлена f при называется число, равное .

Определение 26.4. Степенью многочлена f называется наибольшая из степеней всех его одночленов, и обозначается deg f. При этом считаем, что deg 0=- .

Нетрудно показать, что deg (f+g)≤ max{deg f, deg g}.

Определение 26.5. Старшим членом многочлена f называется одночлен, степень которого равна степени f.