Критерий Эйзенштейна

Доказательство. Покажем, что f(x) неприводим над Z. Запишем многочлен f(x) по возрастающим степеням . Допустим, что f(x) приводим над Z. Тогда (1), где f_i(x) Z [ x ], 0 < degf_i< degf, . Пусть , degf₁=r, r< n. Пусть , s=deg f₂, s< n по (1) . (2)

Приравняем в (2) коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

. (3)

, (4)

, (5)

….

, . (6)

Допустим, что все коэффициенты c₀, c₁, …c_r делятся на p по (6) b_m делится на p, b_n делится на p, что противоречит условию теоремы : c_i не делится на p (*). Аналогично можно доказать, что не делится на p (**). С другой стороны, из (3) имеем: . Так как b₀ не делиться на p², то возможны два случая:

a) c₀ делится на p и d₀ не делится на p;

b) c₀ не делится на p и d₀ делится на p;

a) Пусть c₀ делится на p и d₀ не делится на p из (4) имеем: делится на делится на из (5): делятся на и т.д., делится на . Таким образом, получим, что c₀, c₁, …c_r делятся на p, что противоречит (*). Аналогично, при рассмотрении случая b) приходим к противоречию. Так как предположение неверно, томногочлен f(x) неприводим над Z, и по следствию 21.1.1 f(x) неприводим над Q. Теорема доказана.