Кратное расширение кольца

Определение простого расширения кольца можно сформулировать в следующем виде (см. опр. 1):

Определение 25.1. Пусть K - подкольцо ассоциативно-коммутативного кольца L с единицей, xÎ L. Простым расширением кольца K с помощью элемента х называется кольцо, являющееся пересечением всех подколец из L, которые содержат кольцо K и элемент х, и обозначается K [ x ].

Замечание 25.1. Напомним, что:

1) простое расширение K [ x ] называется простым трансцендентным расширением, если из того что а₀+а₁х+…+а_nхⁿ=0 Þ а_i=0, i= .

2) " fÎ K [ x ]: f=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ, a_iÎ K, i= .

3) простое трансцендентное расширение K [ x ] называется кольцом многочленов от одной переменной х над кольцом K.

Определение 25.2. Пусть K – подкольцо ассоциативно-коммутативного кольца L с единицей, x₁, x₂, …, x_nÎ L. Минимальным расширением кольца K с помощью элементов х₁, х₂, …, х_n называется кольцо, являющееся пересечением всех подколец из L, которые содержат кольцо K и все элементы x₁, x₂, …, x_n, и обозначаемое K [ x₁, x₂, …, x_n ].

При n= 1 получаем определение 25.1.

Определение 25.3. Пусть K – подкольцо ассоциативно-коммутативного кольца L с единицей, x₁, …, x_nÎ L. n-кратным расширением кольца K с помощью элементов x₁, …, x_n называется кольцо, обозначаемое K [ x₁ ][ x₂ ]…[ x_n ]и определяемое индуктивно по правилу:

1) K [ x₁ ][ x₂ ] =(K [ x₁ ] ) [ x₂ ];

2) K [ x₁ ][ x₂ ]…[ x_n ] =(K [ x₁ ][ x₂ ]…[ x_n-1 ] ) [ x_n ].

Теорема 25.1. Пусть K – подкольцо ассоциативно-коммутативного кольца L с единицей, x₁, …, x_nÎ L. Тогда K [ x₁, …, x_n ] =K [ x₁ ]…[ x_n ].

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру n.

1) Пусть n= 1: K [ x₁ ] =K [ x₁ ] – верно.

2) Предположим, что утверждение верно при n=m, т.е. что K [ x₁, …, x_m ] =K [ x₁ ]…[ x_m ].

3) Докажем, что утверждение верно при n=m+ 1, т.е. что K [ x₁, …, x_m+1 ] =K [ x₁ ]…[ x_m+1 ].

Рассмотрим K [ x₁ ]…[ x_m+1 ] (K [ x₁ ]…[ x_m ] ) [ x_m+1 ] (K [ x₁, …x_m ] ) [ x_m+1 ]. Таким образом, требуется доказать, что K [ x₁, …, x_m+1 ] =K₁ [ x_m+1 ], где K₁=K [ x₁, …, x_m ]. Пусть K [ x₁, …, x_m+1 ] =X, K₁ [ x_m+1 ] =Y.

а) Покажем, что ХÍ У. Так как KÍ K₁Í Y и х₁, …, х_mÎ K₁Í Y, x_m+1Î Y XÍ Y.

б) Покажем, что YÍ X. Достаточно показать, что K₁Í Х и х_m+1Î X. Так как KÍ X и x₁, …, x_mÎ X K₁Í X K₁ [ x_m+1 ] Í X, т.е. YÍ X.

Из а) и б) Þ X=Y. Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно " nÎ ℕ. Теорема доказана.