Банковское дисконтирование по сложной учетной ставке

В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. В этих случаях каждый раз учетную ставку применяют не к первоначальной сумме, как при простой учет­ной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем этапе.

Пусть долговое обязательство па сумму FV со сроком погаше­ния через n лет нужно учесть раньше срока по сложной годовой учетной ставке d.

Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляют по формуле

(26)

где d - сложная годовая учетная ставка.

В выражении (26) величина (1 - d)ⁿ — дисконтный множи­тель. Дисконт равен

D = FV-PV

Соотношение между множителями дисконтирования по про­стой и сложной учетной ставкам иллюстрирует рис. 3.2.

Рис. 3.2. Соотношение множителей дисконтирования по простой (1 - nd) и сложной (1 – d)ⁿ учетным ставкам

В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. В этих случаях каждый раз учетную ставку применяют не к первоначальной сумме, как при простой учет­ной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем этапе.

Пусть долговое обязательство па сумму FV со сроком погаше­ния через n лет нужно учесть раньше срока по сложной годовой учетной ставке d.

Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляют по формуле

(26)

где d - сложная годовая учетная ставка.

Сравнивая банковское дисконтирование по простой и сложной учетным ставкам, получим:

1) при 0 < n < 1 справедливо неравенство (1 - nd) > (1 - d)ⁿ;

2) при n > 1 имеет место неравенство (1 - nd) < (1 - d)ⁿ;

3) при n = 1 значения дисконтных множителей совпадают: (1 -nd) = (1 - d)ⁿ.

Таким образом, при n < 1 результаты финансовой операции для банка выгоднее с применением учета по сложным процентам, так как в этом случае дисконтный множитель будет меньше, чем в случае применения простых процентов, и, следовательно, выдаваемая сумма будет меньше. Если n > 1, то для банка выгоднее применить учет по простой учетной ставке.

Если дисконтирование проводится по учетной ставке m раз в году и, следовательно, за весь период финансовой операции дисконтирование проводится mn раз, каждый раз по ставке d/m, то на основе формулы (), получим

(26)

Задача 25. Ценная бумага на сумму 500 тыс. р. учтена за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 15 % годовых. Какова сумма дисконта?

Решение.

Эту сумму получит при учете ценной бумаги ее владелец.

Дисконт составит

D =

Задача 26. Для данных примера 3.10 нужно рассчитать сумму, которую получит владелец ценной бумаги при поквартальном дисконтировании.

Решение.

Определим сумму, которую получит владелец ценной бумаги при по­квартальном дисконтировании:

Дисконт банка можно определить таким образом:

Сравнение результатом, свидетельствует о том, что для банка более частое дисконтирова­ние не выгодно, так как при этом увеличивается сумма, выдавае­мая владельцу ценной бумаги при ее досрочном учете.

Задача 27. При какой схеме начисления процентов база для их начисления остается неизменной в течение всего срока финансовой операции, при какой - увеличивается с каждым периодом начисления?

Задача 28. Как пользоваться таблицей множителей наращения по сложным процентам?

Задача 29. Опишите подробно (по годам) процесс дисконтирования по сложной годовой учетной ставке при учете в банке векселя за три года до срока погашения.

Задача 30. Какую схему дисконтирования - по простой или по сложной учетной ставке - выгоднее применять банку в краткосрочных финансовых операциях? Какую в средне- и долгосрочных?

Задача 31. Для какой из сторон финансовой операции досрочного пога­шения векселя - владельца векселя или банка - выгоднее бо­лее частое (поквартальное, помесячное) применение операции дисконтирования?

Задача 32. По облигации номиналом 10000 р., выпущенной на 5 лет, предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов: первый год - 12%; каждые последующие два года процент­ная ставка повышается на 2 %. Определите наращенную стоимость облигации.

Задача 33. На банковский счет сроком на 3 месяца положены 100 000 р. Определите наращенную сумму вклада, если сложные проценты начисляют в конце каждого месяца по ставке 2 % в месяц.

Задача 34. Клиент поместил на счет в банке 25 000 р. под сложную годовую процентную ставку 12 %. Через 2 года и 150 дней он закрыл счет. Рассчитайте двумя методами, какую сумму получил клиент, если при расчете применяли точные проценты. Какой ме­тод расчета предпочтительнее для клиента, а какой - для банка?

Задача 35. Клиент банка поместил на срочный банковский де­позит сумму 50000 р. на 2 года под 16 % годовых. Определите, какую сумму получит клиент, если сложные проценты начисляют: 1) еже­годно; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно.

Оцените эффективность каждого варианта финансовой операции, рассчитав эффективную процентную ставку.

Задача 36. Предприятию через 3 года понадобится 4 млн р. для замены оборудования. Сколько денег необходимо положить на счет в банке, чтобы накопить необходимую сумму, если проценты по вкладу начисляют ежемесячно по сложной годовой процентной ставке 12 %?

Задача 37. Найдите наращенную сумму, если 150 000 р. инвестированы на 5 лет для непрерывного начисления процентов по сложной годовой процентной ставке 18 %.

Задача 38. Долговое обязательство на сумму 500 000 р., срок платежа по которому наступит через 2 года, учтено в банке по слож­ной годовой учетной ставке 18 %. Определите сумму дисконта: 1) при ежегодном дисконтировании; 2) при поквартальном дисконтирова­нии; 3) при помесячном дисконтировании. Для каждого варианта дисконтирования определите эффективную учетную ставку. Проанализируйте результат.

Задача 39. Срочный вклад в размере 75 ООО р. помещен в банк на 3 года. По условиям договора начисление процентов проводят по учетной годовой ставке 16%: 1) ежегодно; 2) по полугодиям; 3) еже­квартально. Какой вариант следует выбрать клиенту банка?

Домашняя работа.

1. Предприниматель поместил на срочный вклад в банке 200 тыс. р. на 4 года под 14 % годовых. Определите, какую сумму он получит в конце срока, если на вклад ежегодно начисляют сложные про­центы.

2. Какой суммы достигнет долг, равный 50 тыс. р., через 3 года при росте по сложной годовой процентной ставке 15 %?

3. В день рождения внука бабушка положила на срочный депозит в банке 1 тыс. долл. под сложную годовую процентную ставку 5 %. Определите, какая сумма накопится к восемнадцатилетию внука.

4. Какая сумма предпочтительнее при сложной годовой про­центной ставке по валютным депозитам 8 %: 1 тыс. долл. сегодня или 1, 5 тыс. долл. через 5 лет?

5. На вашем счете в банке 320 тыс. р. Банк платит 17 % годовых. Проценты сложные. Вам предлагают войти всем вашим капиталом в организацию венчурного предприятия. Представленные эконо­мические расчеты показывают, что через 4 года ваш капитал удво­ится. Стоит ли принимать это предложение?

6. Определите, что выгоднее: получить 28 тыс. р. через два года или 31 тыс. р. через три года, если можно поместить деньги на депо­зит под сложную годовую процентную ставку 9 %?

7. При какой сложной годовой процентной ставке сумма на счете клиента банка за 5 лет может удвоиться?

8. Определите, сколько лет необходимо для увеличения перво­начального капитала в 3 раза, если сложные проценты начисляют по ставке 16 % годовых.

9. На счет до востребования в банке 13 января положили 10 тыс. р. под сложную годовую процентную ставку 8 %. Какую сумму вклад­чик сможет снять со счета 1 сентября, если при расчете применяли точные проценты, а год невисокосный?

10. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 100 тыс. р. сроком на 3 года под сложную годовую процентную ставку на сле­дующих условиях: для первого года ставка равна 17%, на следу­ющие два года устанавливается маржа в размере 1, 5%. Определите сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окон­чании срока ссуды.

11. Фирма взяла кредит в сумме 2 000 тыс. р. на 6 лет. Какую сумму фирма должна будет вернуть по истечении срока, если за первые два года проценты начисляют по сложной годовой процент­ной ставке 17%, а каждый последующий год процентную ставку увеличивают на 0, 5 %.

12. Предприниматель взял ссуду в банке в размере 450 тыс. р. на полгода. Сложные проценты начисляют ежемесячно по ставке 1, 5 % в месяц. Определите наращенную сумму долга в конце срока.

13. Кредит в размере 270 тыс. р. выдан под сложную процент­ную ставку 2, 2 % в месяц сроком на один год. Определите полную сумму долга к концу срока.

14. Определите сумму сложных процентов, начисленных на долг в размере 90 тыс. р., выданный на 1 год и 3 месяца, если про­центы начисляют ежеквартально по ставке 6, 5 % в квартал.

15. Ставка банка по срочным депозитам на начало года состав­ляет 20 % годовых. В течение года ожидается ежеквартальное сни­жение процентных ставок относительно первоначального уровня на 2, 3 и 5 % соответственно. Определите наращенную к концу года сумму вклада размером 15 тыс. р., если сложные проценты начисля­ют один раз в квартал.

16. Какой суммы достигнет долг, равный 200 тыс. р., через 6, 5 лет при росте по сложной годовой процентной ставке 18 %? Рассчитай­те точным и смешанным методами. Сравните полученные результа­ты. Какой метод предпочтительнее для кредитора?

17. Кредит в размере 120 тыс. р. выдан на 33 месяца по ставке 17 % годовых. Проценты сложные. Определите сумму долга на ко­нец срока, используя точный и смешанный методы. Сравните по­лученные результаты. Какой метод предпочтительнее для заемщи­ка?

18. Банк выдал кредит в размере 400 тыс. р. на 1 год и 160 дней под сложную годовую процентную ставку 20 %. Определите сумму долга на конец срока кредита двумя методами: точным и смешан­ным.

19. Предприниматель получил ссуду 250 тыс. р. на 42 месяца под сложную годовую процентную ставку 18%. Какую сумму он должен будет вернуть банку по истечении срока ссуды? Рассчитай­те точным и смешанным методами.

20. В банк на 2 года помещены 220 тыс. р. под сложную годовую процентную ставку 18%. Проценты начисляют по полугодиям. Определите наращенную сумму денег и дисконт.

21. Сложная годовая процентная ставка банка по срочному ва­лютному депозиту составляет 16 %. Проценты начисляют один раз в квартал. Первоначальная сумма вклада 10 тыс. долл. Определите сумму депозита через 3 года.

22. Определите наращенную сумму и процентные деньги, если 380 тыс. р. инвестированы на 2 года под сложную годовую номи­нальную процентную ставку 14%, причем проценты начисляют: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально. Сравните полученные результаты. Какой вариант начисления процентов предпочтительнее для инвестора?

23. Клиент банка поместил на срочный вклад 140 тыс. р. на 2 года под 12 % годовых. Определите наращенную сумму вклада к концу срока, если сложные проценты начисляют: а) ежегодно; б) по полу­годиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно.

24. Банк предоставил ссуду в размере 320 тыс. р. на 3 года под 1^8 % годовых на условиях единовременного возврата основной сум­мы долга и начисленных процентов. Рассчитайте, какую сумму предстоит вернуть заемщику, если сложные проценты начисляют: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно.Сравните полученные результаты. Какой вариант начисления процентов предпочтительнее для кредитора?

25. Определите эффективную годовую процентную ставку, эк­вивалентную номинальной ставке 18 % при полугодовом начисле­нии процентов.

26. Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 24 % при ежеквартальном начислении процен­тов.

27. Определите эквивалентные номинальные процентные став­ки с начислением сложных процентов по полугодиям и ежемесяч­но, соответствующие эффективной ставке 22 %.

28. Банк предлагает клиенту получить ссуду на следующих условиях: а) сложные проценты начисляют ежемесячно из расчета 20 % годовых; б) сложные проценты начисляют ежеквартально из расчета 21 % годовых. Какой вариант предпочтительнее для клиен­та?

29. Предприниматель намерен инвестировать 250 тыс. р. на 3 года на следующих условиях: а) сложные проценты начисляют ежеквартально из расчета 16 % годовых; б) сложные проценты на­числяют ежемесячно из расчета 15% годовых. Какую сумму полу­чит предприниматель в конце срока при каждом варианте финан­совой операции? Оцените эффективность инвестирования. Какой вариант предпочтительнее для инвестора?

30. На вклад начисляют ежемесячно сложные проценты по но­минальной годовой процентной ставке 20 %. За какой срок перво­начальный капитал удвоится?

31. На банковский вклад в конце каждого полугодия начисляют сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 16%. За какой срок первоначальный капитал увеличится втрое? Как изменится результат, если проценты будут начислять ежемесячно?

32. Вкладчик хотел бы за 4 года удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую номинальную годовую процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов каж­дые полгода?

33. Предприниматель хочет, поместив в банк 160 тыс. р., полу­чить через 3 года 240 тыс. р. Какова должна быть номинальная годо­вая процентная ставка, если сложные проценты начисляют еже­квартально?

34. Определите номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляют по полугодиям, эквивалентную номиналь­ной процентной ставке 16 % с ежемесячным начислением процен­тов.

35. Какой суммы достигнет долг в 200 тыс. р., если на него в те­чение 30 месяцев ежеквартально начисляют сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 17 %?

36. Определите размер долга через 28 месяцев, используя точ­ный и смешанный методы, если его первоначальная сумма состав­ляет 500 гыс. р., а сложные проценты начисляют поквартально по ставке 20 % годовых. Какой метод выгоднее для кредитора, какой - для должника?

37. Клиент поместил в банк 150 тыс. р. на 33 месяца под годо­вую процентную ставку 14%. Определите, какая сумма накопится на счете при условии, что сложные проценты начисляют по полуго­диям. Рассчитайте точным и смешанным методами. Какой метод выгоднее для клиента?

38. На первоначальный капитал в сумме 500 тыс. р. в течение трех лет начисляют сложные проценты по ставке 10% годовых. Определите наращенную сумму вклада, если начисление процен­тов проводят непрерывно.

39. На сумму 15 тыс. р. непрерывно в течение 2, 5 лет начисляют сложные проценты по ставке 14% годовых. Определите наращен­ную к концу срока сумму и дисконт.

40. Определите, какую сумму необходимо поместить в банк на депозитный счет, чтобы при начислении сложных процентов по ставке 10 % годовых получить через два года 210 тыс. р.

41. Из какого капитала можно получить 500 тыс. р. через 4 года наращением сложными процентами по ставке 11 % годовых, если наращение осуществляют ежеквартально?

42. Какую сумму необходимо поместить на банковский депо­зит, чтобы через 2, 5 года получить 100 тыс. р., если сложные про­центы начисляют непрерывно по ставке 15 % годовых?

43. Предприятию необходимо накопить 5 млн р. для замены оборудования через 4 года. Какую сумму необходимо положить на счет, если банк ежемесячно начисляет сложные проценты по номи­нальной годовой процентной ставке 20%? Как изменится эта сум­ма, если проценты будут начислять непрерывно?

44. Финансовый инструмент на сумму 500 000 р., срок платежа по которому наступит через 3 года, продан с дисконтом по сложной годо­вой учетной ставке 16 % с поквартальным дисконтированием. Опре­делите сумму, полученную его владельцем при продаже, и эффектив­ную учетную ставку. Как изменится эта сумма и эффективная учетная ставка, если дисконтирование будут проводить ежемесячно?

45. Долговое обязательство на выплату 100 тыс. р. со сроком погашения через 2 года учтено в банке с дисконтом по сложной го­довой учетной ставке 12%. Определите сумму дисконта и эффек­тивную учетную ставку: а) при ежегодном дисконтировании; б) по­квартальном дисконтировании; в) помесячном дисконтировании. Какой вариант дисконтирования предпочтительнее для банка?

46. Облигация номиналом 50 тыс. р., срок погашения которой наступит через 3 года, продана с дисконтом по сложной годовой учетной ставке 19 %. Рассчитайте сумму, которую получил владелец облигации и эффективную учетную ставку: а) при ежегодном дис­контировании; б) поквартальном дисконтировании; в) помесячном дисконтировании. Какой вариант дисконтирования предпочтитель­нее для владельца ценной бумаги?

47. Определите современное значение суммы 20 тыс. р., если она будет выплачена через 1 год и 3 месяца и дисконтирование про­водилось по полугодиям по сложной годовой учетной ставке 14%. Рассчитайте точным и смешанным методами.

48. За долговое обязательство в сумме 500 тыс. р. банком было выплачено 300 тыс. р. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банк использовал сложную годовую учетную ставку 18 %?

49. Долговое обязательство, равное 10 тыс. р. со сроком пога­шения через 2 года, было учтено в банке. При этом владелец обяза­тельства получил 7 тыс. р. Определите сложную учетную ставку в этой сделке.

50. Предприниматель поместил на депозитный счет 700 тыс. р. на 2 года. Сложные проценты начисляют по годовой учетной ставке 10 %. Определите наращенную сумму вклада, если начисление про­центов проводят: а) ежегодно; б) ежемесячно. Какой вариант пред­почтительнее для вкладчика?

51. Вклад в размере 200 тыс. р. поместили в банк сроком на 5 лет. Причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей сложной учетной ставке: в первый год — 10 %, во второй — 12 %, в оставшиеся годы — 14 %. Определите на­ращенную сумму вклада.

52. Вклад в размере 200 тыс. р. положен в банк сроком на 4 года. При этом предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по сложной переменной учетной ставке: в первые два года - 9 %, в оставшиеся - 13 %. Определите наращенную к концу срока сумму вклада.

53. Определите номинальную ставку, если эффективная учет­ная ставка равна 18 % и дисконтирование по сложной учетной став­ке осуществляют ежеквартально.

54. Определите номинальную учетную ставку, дисконтирова­ние по которой проводят по полугодиям, эквивалентную номиналь­ной процентной ставке 16 % с ежемесячным дисконтированием.

Экзаменационные вопросы:

1. Вычисление наращенных сумм на основе сложных декурсивных процентов.
2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.
3. Начисление сложных декурсивных процентов при дробном числе лет.
4. Переменные сложные процентные ставки.
5. Наращение сложных процентов m раз в году.
6. Номинальная и эффективная процентные ставки.
7. Вычисление наращенных сумм на основе сложных антисипативных процентов.
8. Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке.
9. Непрерывное наращение и дисконтирование.
10. Банковское дисконтирование по сложной учетной ставке.

[1] Множители наращения рассчитаны для временной базы К=360 дней.