Пример 3.6.

min = -2 x ₁ + x ₂ – x ₃,

Приведём задачу к каноническому виду, введя новые переменные х 4 и х 5:

min = -2 x ₁ + x ₂ – x ₃,

Из переменных х ₁ – х ₅ в базис выводится только х ₄, а при выводе других переменных значения свободных членов b становятся отрицательными, что недопустимо. Тогда для первого и третьего уравнений введём искусственные переменные y ₁ и y₂. Новая целевая функция Т будет иметь вид

min T = + M(y ₁ + y ₂) = -2 x ₁ + x ₂ – x ₃ + M y ₁ + M y ₂,

где М – достаточно большое положительное число, а система ограничений с учетом y ₁ и y ₂ запишется как:

Заполним ячейки исходной симплекс-таблицы (таблица 3.5), где в качестве базисных переменных принимаются у ₁, х ₄ и у ₂.

Таблица 3.5

Исходная таблица для решения задачи М-методом

-2

-1

М

М

коэф. в

Базисные переменные

Свободные члены

х 1

х 2

х 3

х 4

х 5

у 1

у 2

М

у 1

О

х 4

-2

М

у 2

1/5

-1

-1/2

1/2

Т

7М

4М+2

3М-1

М+1

-М

Ячейки последней строки с Т заполняем по следующим правилам:

1. Значение ячейки столбца свободных членов (3-й столбец) равно сумме произведений значений 1-го столбца (коэффициенты при базисных переменных в целевой функции Т) на соответствующие значения 3-го столбца плюс значение свободного члена целевой функции, т.е.

.

2. Значение ячейки столбца переменных х ₁ х ₅ и у ₁, у ₂ равно сумме произведений значений 1-го столбца на соответствующие значения столбца переменной минус значение коэффициента при этой переменной в целевой функции, например, для 4-го столбца с х ₁ имеем

и т.д.

После заполнения всех ячеек таблицы 3.5 выполняются действия как в обычном табличном симплекс-методе: выбирается разрешающий столбец, разрешающая строка и т.д. Получаем таблицу 3.6, где искусственная переменная у ₂ в базисе заменяется на новую базисную переменную х ₁.

Таблица 3.6