Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Формула полной вероятности. Формула Байеса.






    Формула полной вероятности позволяет находить вероятность виртуального события A, совместного с некоторыми другими виртуальными событиями (гипотезами) Hi, по его условным вероятностям P(A | Hi) на фоне каждой из гипотез Hi, в предположении, что эти последние образуют полную группу событий (Рис. 2.7), а их вероятности P(Hi) так же считаются известными.

     
     

     

     


    Рис. 2.7 Диаграмма Венна для полной вероятности.

    Дано: Hi ∩ Hj = Ø i ≠ j (несовместность гипотез);

    i = 1, 2, … k; (полная группа гипотез).

    P(Hi) ≠ 0 и P(A | Hi) ≠ 0 – известные вероятности.

    Найти: P(A) –?

    Решение: Учтя свойства операций пересечения и объединения, представим событие A в таком виде:

    A = A Ω = A(H1 + H2 + … +Hk) = AH1 + AH2 +... + AHk.

    Определим вероятность события A по Аксиоме 3 и Теореме 2:

    P(A) = = . (35)

    Это и есть формула полной вероятности. #

    Формула Байеса, вывод которой приводится ниже, позволяет в тех же условиях модифицировать вероятности гипотез P(Hi) с учетом того, что результат опыта известен, т.е. определять условную вероятность P(Hi | A) гипотезы Hi на фоне элементарного исхода, обладающего свойством A.

    Дано: См. предыдущую теорему, плюс факт наблюдения A.

    Найти: P(Hi | A) –?

    Решение: Опираясь на формулу (19), получаем такую цепочку преобразований:

    P(AHi) = P(Hi) * P(A | Hi) = P(A) * P(Hi | A).

    Отсюда сразу следует искомая формула Байеса:

    P(Hi | A) = P(Hi) * P(A | Hi) / P(A). # (36)

    Отметим, что дробь P(A | Hi) / P(A) представляет собой корреляцию (27) между событием A и гипотезой Hi: Δ AHi. Следовательно, можно получить такой вариант формулы Байеса:

    P(Hi | A) = P(Hi)* Δ AHi.

    Отсюда вывод: если корреляция между событием A и гипотезой Hi отрицательна, то апостериорная вероятность гипотезы P(Hi|A) уменьшается по сравнению с априорной вероятностью P(Hi); если же корреляция положительна, то она увеличивается. Когда же событие A стохастически не связано с гипотезой Hi, то апостериорная и априорная вероятности гипотезы Hi равны между собой.

    Задача 2.9. Три одинаковых урны заполнены разным количеством белых и черных шаров: в первой – два белых и восемь черных, во второй – три и семь, а в последней – шесть и четыре. Извлечен белый шар. Какова вероятность того, что его взяли из первой урны?

    Дано: k = 3 – количество урн; Hi = {обращение к i -ой урне};

    A = {извлечение белого шара};

    A | Hi = { из i-ой урны извлечен белый шар};

    Hi | A = { белый шар извлечен из i-ой урны}.

    Найти: P(H1 | A) ?

    Решение: Определим вероятности всех вышеперечисленных событий. Так как урны одинаковы, то, в силу симметрии ситуации, P(Hi) = 1 / 3 для любой урны. Вычислим для каждой урны, зная их состав, вероятности изъятия белого шара по формуле классической вероятности (7): P(A | H1)=2/10; P(A | H2)=3/10; P(A | H3)=6/10. Полная вероятность извлечения белого шара определяется по формуле (35):

    P(A) = ∑ P(Hi)* P(A | Hi) = ⅓ * (0, 2 + 0, 3 + 0, 6) ≈ 0, 37.

    Окончательно, по формуле (36) найдем вероятность того, что белый шар был взят из первой урны:

    P(H1 | A) = P(H1)* P(A | H1) / P(A) = ⅓ * 0, 2 / 0, 37 ≈ 0.18. #

    Итак, апостериорная вероятность первой гипотезы на фоне наблюдавшегося события A уменьшилась. Естественно, что обращение к первой урне уменьшает вероятность извлечения белого шара, т.е. между этими событиями проявилась отрицательная корреляция (Δ AHi = 0, 54 < 1).

    Заключение.

    Материал раздела 2.1 позволяет нам определять вероятности тех событий, которые мы в состоянии описать либо через элементарные исходы ω j, либо на уровне виртуальных событий A, B, C …, или посредством отрицаний, пересечений, объединений указанных событий. Такой подход к делу не является самым эффективным, поскольку описания – это сложные логические построения, обработку которых трудно автоматизировать.

    Для успешного применения полученных знаний нет другого пути, кроме приобретения навыка в решении задач. Это относится к любой науке, а к теории вероятностей в особенности. Мышление здесь не линейное, как в простейших ситуациях, к которым мы приучены элементарной математикой и обычной практической деятельностью. Хороший набор задач можно взять из [7], где даны основные формулы, ответы и пояснения в сложных ситуациях. Главное – это научиться записывать на языке вероятностных символов условия задачи и вопросы, на которые требуется дать ответы.

    Более совершенным инструментом вычисления вероятностей является аппарат случайных величин. Он ориентирован именно на массовые вычисления и особенно эффективен в ситуации, когда ПЭИ Ω является непрерывным.

    Случайные величины – это новые «числовые одежды» для знакомых нам статистически устойчивых событий. На них будут, естественно, распространяться первичные понятия, все аксиомы, основные теоремы и такие характеристики как совместность и несовместность, стохастическая связанность и не связанность, коррелированность и некоррелированность.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.