Основная теорема доказана.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Примечание. События D_m несовместны и образуют полную группу событий, что, в соответствие с (13), позволяет записать следующее:

Вспомогательная теорема. В условиях испытаний Бернулли вероятнейшее число m₀ наблюдений примитива A_r является целым числом, принадлежащим единичному отрезку [np – q; np + p], т. е.:

где INT(…) – оператор, определяющий целую часть числа. Переходим к доказательству этой теоремы.

Дано: См. «Основную теорему» плюс определение вероятнейшего числа наблюдений m₀, как значения параметра «m», характеризующегося максимальной вероятностью.

Решение: В связи с тем, что функция (28) является дискретной, для определения её экстремума не применим классический прием нахождения производной непрерывной функции и приравнивания этой производной нулю. Однако, условие m₀ = arg(P_n(m) = max) порождает два неравенства:

Раскроем первое из них по формуле (28) и выполним ряд последовательных преобразований, что даст нам левую границу для числа m₀:

Выполнив аналогичные преобразования со вторым неравенством, получим правую границу этого числа:

Объединив неравенства (32) и (33), получим границы единичного отрезка, внутри которого лежит единственное целое число m₀:

что эквивалентно утверждению (30). Теорема доказана. #

При некоторых «n» и «p» формулы (30) могут давать для испытаний Бернулли два равновероятных значения m₀ и m′ ₀.

Задача 2.8. Разберем задачу [7] о выигрышах у равносильного противника в матчах разной продолжительности, изменив в ней несколько условия и расширив её дополнительным вопросом:

1) Что вероятнее: три победы в матче из четырех встреч, или шесть - из восьми?

2) Каково вероятнейшее число побед в матче из восьми встреч?

Дано: n₁ = 4; m₁ = 3; n₂ = 8; m₂ = 6; A = {примитив} = {выигрыш у равносильного противника одной партии};

P(A) = p = P(Ā) = q = 1 / 2 – вероятность выигрыша или проигрыша равносильному противнику, полагается постоянной в обоих матчах.

Найти: 1) соотношение между вероятностями P₄(3) и P₈(6);

1. Вычисляем искомые вероятности по формуле (25):

P₄(3) = C₄³ p³q^{4 – 3} = 4! / (4 – 3)! / 3! (1/2)³ (1/2) = 16 / 64;

P₈(6) = C₈⁶ p⁶q^{8 – 6} = 8! / (8 – 6)! / 6! (1/2)⁶ (1/2)² = 7 / 64

Вывод: P₄(3) > P₈(6) более чем в два раза, хотя, обратите внимание! в обоих случаях эффективность выигрышей (m / n = 3 / 4 = 6 / 8) одинакова и составляет 75%.

2. Вероятнейшее число побед во втором матче находим по формуле (34) и её эквиваленту (30):

m₀ [np – q; np + p] → m₀ [8*0.5 - 0.5; 8*0.5 + 0.5] → m₀ = 4. (34)