Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Понятие о методах синтеза цифровых систем и цифровых фильтров




 

Для цифровых систем постановка задачи синтеза и пути её решения аналогичны соответствующим задачам синтеза в теории непрерывных систем. Однако при синтезе цифровых систем возникают и определенные особенности, которые необходимо учитывать. Характерной особенностью этих систем является обработка процессов, подвергшихся дискретизации по времени и квантовании по уровню. В общем случае выполнение этих операций приводит к возрастанию ошибки слежения. Поэтому при построении цифровых систем необходимо принимать меры, чтобы сделать это увеличение незначительным. Из сказанного следует, что кроме основной задачи синтеза системы управления: определения структуры с точки зрения получения желаемых показателей качества, необходимо ещё решить задачу выбора периода дискретности и характеристик АЦП и ЦАП.

В данном параграфе остановимся на вопросе определения структуры цифровой системы управления с точки зрения получения желаемых показателей качества. При решении этой задачи в области цифровых систем управления, так же как и для непрерывных систем, может быть два характерных случая:

- даны некоторые звенья системы управления (чаще всего дискриминатор и объект управления вместе с нагрузкой); необходимо найти передаточную функцию корректирующего звена, обеспечивающего заданные технические характеристики системы;

- необходимо обеспечить теоретически предельно высокое качество системы, т.е. провести оптимальный синтез системы управления в целом по определенному критерию.

В первом случае синтез цифровых систем управления обычно проводят в два этапа: сначала синтезируется дискриминатор и согласующийся с ним объект управления вместе с нагрузкой, а затем – корректирующее устройство.

Преимущество раздельного синтеза дискриминатора и фильтра состоит в большей простоте и в возможности использования схем дискриминаторов, полученных эвристическими методами.

Если считать, что дискриминатор D и объект управления заданы, то синтез цифровой системы сводится к синтезу цифрового фильтра (ЦФ), т.е. выбору его дискретной передаточной функции H(z), периода дискретности Т, количества двоичных разрядов в АЦП и ЦАП и цен единичных младших разрядов этих преобразователей.

Поскольку ЦФ фактически выполняет в системе функции последовательного корректирующего устройства, его дискретная передаточная функция должна удовлетворять условию:

(8.69)

где Нж(z) – желаемая дискретная передаточная функция разомкнутого контура;

Ннч(z) – дискретная передаточная функция неизменяемой части, которую в соответствии со структурной схемой (рис. 8.14) можно определить как Ннч(z) = Кg×d1-1×d2× Н0(z).



При выборе Нж(z) или однозначно связанной с ней Нж*(jl) применимы те же подходы, что и в непрерывных системах (см. пп. 3.3). Однако здесь подразумевается, что показатели точности, запаса устойчивости и быстродействия характеризуют закономерность изменения y(t) как решетчатой функции, а не непрерывной. Возможно использование оптимальных фильтров Винера или Кальмана [2]. Однако гораздо проще воспользоваться методом желаемых логарифмических частотных характеристик, рассмотренным в пп. 3.3 применительно к непрерывным системам. Достоинством этого метода, кроме простоты, являются также прозрачность и ясность получаемых результатов и автоматическое без использования вычислительных средств получение желаемой дискретной передаточной функции Н(z) корректирующего фильтра. Напомним, что суть методики заключается в том, что характер желаемой логарифмической частотной характеристики в области низких частот выбирается исходя из заданной динамической ошибки системы; псевдочастота среза разомкнутого контура определяется исходя из заданного быстродействия системы управления, а требования по запасам устойчивости выполняются формированием желаемой логарифмической частотной характеристики в районе псевдочастоты среза (см. пп. 3.3).

Часто при нахождении дискретной передаточной функции ЦФ за основу принимают функцию (p) его непрерывного прототипа, который привел бы Wp(p) к желаемому виду. Считается, что чем ближе динамические свойства ЦФ и идеального непрерывного фильтра – прототипа, тем выше качество цифровой системы управления [3].

Однако полная эквивалентность цифрового и непрерывного фильтров невозможна хотя бы потому, что y(t) непрерывного фильтра в общем случае – сравнительно гладкая непрерывная функция, а выходной сигнал ЦФ с экстраполятором нулевого порядка – ступенчатая функция, скачкообразно изменяющаяся в тактовых точках. Поэтому близость динамических свойств цифрового и непрерывного фильтров можно понимать по-разному, рассматривая, например, временные или частотные характеристики этих фильтров.



Один из наиболее простых подходов состоит в том, что ставится требование хорошего совпадения АЧХ и ФЧХ цифрового и непрерывного фильтров на низких частотах 0 £ w £ wгр.

Граничную частоту wгрвыбирают так, чтобы на рассматриваемом отрезке низких частот была сосредоточена основная часть мощности в спектре задающего воздействия. Если период дискретности достаточно мал и выполняется условие wгр<<p/T, то для нахождения частотной передаточной функции ЦФ достаточно заменить в частотной передаточной функции непрерывного фильтра – прототипа частоту w на псевдочастоту l и учесть коэффициент передачи линеаризованных АЦП и ЦАП. Это даёт формулу

(8.70)

Перейдя в (8.70) к переменной z по формулам (8.13) и (8.15), получим выражение для дискретной передаточной функции цифрового управляющего фильтра:

(8.71)

Решение задачи синтеза, соответствующее второму случаю, т.е. случаю выполнения требования обеспечения теоретически предельно высокого качества системы, возможно методами теории оптимальных систем. Однако при этом возникает не менее сложная задача нахождения физически реализуемого решения. Разрешение этой задачи приводит к необходимости изменения найденных параметров системы, что, естественно, делает систему уже не оптимальной, а квазиоптимальной. Кроме этого, как указывалось ранее, система будет квазиоптимальной только в отношении принятого критерия оптимальности и совсем не оптимальной в отношении других характеристик системы. С методами синтеза оптимальных систем и цифровых фильтров желающие могут ознакомиться в [2, с. 215…238].

 

2.8.8.5. Выбор периода дискретности [3]

 

При выборе периода дискретности Т приходится находить компромиссное решение с учётом двух противоречивых требований:

- чрезмерное уменьшение периода дискретности при определенном быстродействии цифрового вычислителя ограничивает допустимую сложность алгоритма вычислений, которые производятся в реальном масштабе времени и на каждом такте должны быть выполнены за время, не превышающее значения Т;

- увеличение периода дискретности приводит к увеличению информационных потерь при квантовании непрерывного сигнала рассогласования и в конечном счёте ухудшает качество управления. Последнее обстоятельство связано с периодичностью частотных характеристик ЦФ, вследствие которой удаётся придать им желаемую форму лишь на частотах w<<p/T. Это приводит к динамическим искажениям обрабатываемого сигнала, а также к увеличению составляющей ошибки от возмущающего воздействия f(t).

Рассмотрим сначала влияние величины периода дискретности Т на качество обработки полезного сигнала рассогласования. Если нахождение дискретной передаточной функции ЦФ проведено по непрерывному прототипу с использованием формул (8.70) и (8.71), то абсолютная погрешность реализации его желаемой АЧХ Аф(w)=½(jw)½ на граничной частоте wгрсоставит:

, (8.72)

Считая функцию Аф(w) дифференцируемой в окрестности точки wгр, перепишем (8.72) в виде произведения производной функции Аф(w) на приращение её аргумента:

. (8.73)

Пусть требуется обеспечить близкие к желаемым динамические свойства управляющего фильтра, чтобы относительная погрешность реализации АЧХ не превышала малой величины e, т.е. . Тогда из (8.73) получим требование:

(8.74)

Введём обозначения: с учётом которых левую часть (8.74) запишем в виде:

 

Это позволяет получить из (8.74) неравенство

(8.75)

Значения функции F1(`w), вычисленные по (8.75), даны в табл. 8.2 [3].

 

Таблица 8.2

`wгр 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40
F1(`wгр) 8.34×10-4 3.35×10-3 7.59×10-3 0.0135 0.0214 0.0311 0.057
`wгр 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10
F1(`wгр) 0.0926 0.14 0.203 0.287 0.4 0.557 0.786

 

Формула (8.75) и табл. 8.2 позволяют обоснованно выдвинуть требование к периоду дискретности исходя из заданной АЧХ непрерывного прототипа ЦФ Аф(w) и величин граничной частоты в спектре задающего воздействия wгри относительной погрешности реализации АЧХ e. Для этого следует вычислить правую часть неравенства (8.75), найти по табл. 8.2 требуемые значения `wгри, наконец, определить максимальное допустимое значение периода дискретности по формуле

. (8.76)

Заметим, что аналогичным образом можно вывести требование к величине периода дискретности по заданной допустимой погрешности реализации ФЧХ фильтра.

Теперь рассмотрим влияние периода дискретности Т на средний квадрат ошибки от непрерывного возмущающего воздействия f(t) со спектральной плотностью Sfн(w), выражаемой формулой (8.56). Это влияние обусловлено тем, что вследствие периодичности АЧХ цифровой фильтр пропускает спектральные составляющие f(t) не только вблизи нулевой частоты, где лежит полоса пропускания непрерывного фильтра – прототипа, но и вблизи частот Их вклад эквивалентен увеличению уровня спектральной плотности воздействия на нулевой частоте, который составит:

. (8.77)

Так как даже при знаменатель выражения под знаком суммы в (8.77) существенно превышает 1, то справедлива приближенная формула

. (8.78)

Здесь использована сумма бесконечного ряда Учитывая, что формула (8.77) вполне согласуется с (8.60).

Различие в множителе Т объясняется тем, что (8.60) выражает спектральную плотность решетчатого случайного процесса, а (8.78) – эквивалентного непрерывного процесса.

Таким образом, эффект квантования непрерывного сигнала рассогласования во времени приводит к увеличению уровня спектральной плотности эквивалентного непрерывного возмущающего воздействия на относительную величину

. (8.79)

Поскольку средний квадрат ошибки от f(t) в соответствии с (8.54) пропорционален уровню его спектральной плотности на нулевой частоте, выражение (8.79) даёт также относительное превышение среднего квадрата ошибки от возмущающего воздействия в цифровой системе управления по сравнению с гипотетической непрерывной системой, получаемой при Т®0. Если эта величина не должна превышать некоторого малого числа D, то из (8.79) следует, что

Например, при D=0,08 период дискретности должен удовлетворять условию:

Т£1/m. (8.80)

С целью смягчения требования (8.80) иногда целесообразно специально несколько увеличить постоянную времени дискриминатора. При этом уменьшается характеризуемая показателем m ширина спектра воздействия, подвергаемого квантованию во времени. Заметим, что в некоторых случаях зависимость суммарной среднеквадратичной ошибки цифровой системы управления от периода дискретности при фиксированной структуре системы не является монотонно возрастающей. Тогда существует некоторое оптимальное значение периода дискретности, максимизирующее точность управления в системе с заданной структурой.

2.8.8.6. Выбор характеристик АЦП и ЦАП [3]

Цены единиц младших разрядов преобразователей d1и d2выбирают исходя из допустимых значений средних квадратов составляющих ошибки управления и , вызываемых шумами квантования по уровню. Более просто эта задача решается по отношению к АЦП. Дело в том, что точки приложения шума квантования в АЦП f1[n] и возмущающего воздействия f[n] разделяет лишь безынерционное звено с коэффициентом передачи Kg(рис. 8.13). Поэтому в соответствии с (8.54) и (8.66) справедливо выражение:

т.е. средние квадраты ошибки от шума квантования и флуктуационной ошибки от возмущения относятся так же, как уровни спектральных плотностей, приведённых к входу системы шума квантования и возмущающего воздействия. Если обеспечить, чтобы величина такого отношения не превышала 10-2, то ошибка от квантования в АЦП практически не будет увеличивать результирующую ошибку управления. Это дает неравенства:

Отсюда после перехода к спектральной плотности непрерывного возмущающего воздействия по формуле Sfн(0)»T× Sf*(0) получим:

. (8.81)

Поскольку условие (8.81) выведено в предположении, что шум квантования по уровню – дискретный белый шум, оно имеет силу только при выполнении неравенства (8.27). Если в процессе работы системы среднеквадратичное значение производной возмущающего воздействия может по каким-либо причинам сильно уменьшится, а задающее воздействие почти постоянно, то неравенство (8.27) нарушится. Тогда среднеквадратичная ошибка управления за счёт эффекта квантования в АЦП может сильно возрасти и даже достичь максимального возможного значения . Иногда это обстоятельство накладывает более жесткие требования на величину d1, чем условие (8.81).

После выбора цены младшего разряда АЦП следует определить требуемое число разрядов a1, используя вытекающую из (8.25) формулу

(8.82)

где – максимальное значение входной величины АЦП, которое можно приближённо найти через полуширину линейного участка дискриминационной характеристики Dgс помощью соотношения

Как правило, необходимое число двоичных разрядов АЦП в канале ошибки цифровой системы управления составляет 5…8.

При выборе цены единицы младшего разряда ЦАП d2следует задаться допустимым значением Dцапсреднего квадрата ошибки от шума квантования по уровню f2[n], которая обычно составляет несколько процентов от среднего квадрата результирующей ошибки управления. Если объект управления является безынерционным звеном с коэффициентом передачи Коу, то, как следует из (8.68), неравенство выполняется при

(8.83)

Если объект управления обладает значительной инерционностью, то с учетом (8.67) для выбора d2получим условие:

(8.84)

Требуемое число двоичных разрядов в ЦАП составит:

(8.85)

где – максимальная возможная выходная величина ЦАП.

Если объект управления – безынерционное звено, то , где gmax– максимальное значение задающего воздействия. Следует иметь в виду, что в цифровой системе управления часто предусматривается непосредственное преобразования выходного кода ЦФ в управляющую величину (в управляемый параметр выходного сигнала), т.е. объект управления и ЦАП делают совмещенными. При таком построении системы без существенных технических трудностей в ЦАП можно обеспечить большее число разрядов, чем в АЦП.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какая функция называется решетчатой функцией?

2. Что называется импульсным фильтром?

3. Дайте определение дискретной передаточной функции импульсного фильтра.

4. Запишите выражение для единичной импульсной решетчатой функции.

5. Запишите выражение для начального значения оригинала.

6. Запишите выражение для конечного значения оригинала.

7. Почему при анализе дискретных систем предпочтение отдают методу Z-преобразований?

8. Как, имея выражение для дискретной передаточной функции H(z), записать выражение для частотной передаточной функции импульсного фильтра?

9. Зачем нужно W-преобразование?

10. Запишите частотную передаточную функцию импульсного фильтра как функцию псевдочастоты.

11. В чем отличие цифровых систем управления от импульсных?

12. Запишите выражение для дисперсии шума квантования по уровню.

13. Нарисуйте структурную схему импульсной системы управления и объясните назначение ее элементов (звеньев).

14. Нарисуйте условие устойчивости импульсных систем на плоскости Z и плоскости W.

15. Нарисуйте функциональную схему цифровой системы управления.

16. Нарисуйте структурную схему цифровой системы управления.


Ответы на вопросы для самопроверки

Определения, понятия, терминология

 

1. См. рис. 3.

2. (ЭС+ЧЭ) - дискриминатор, усилитель У, управляющее устройство УУ, объект управления ОУ (рис. 3).

3. См. выражения (1) и (2) соответственно.

4. Заменить в квадратиках функциональной схемы название ее элементов (звеньев) на передаточные функции этих элементов.

 


.

mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.013 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал