Геодезические измерения

3.1 В повседневной деятельности постоянно приходится сталкиваться с необходимостью измерений. В случае «штучности» объектов достаточно простого счёта, иначе необходимо сравнение с некоторыми заранее определёнными величинами. Такой процесс сравнения называют измерением. Результат измерения – число; таким образом объект получает количественную характеристику.

Единицы мер. При геодезических измерениях пользуются в основном линейными и угловыми мерами. Расстояния в геодезии измеряют в метрах, углы – в градусах. За единицу площади берут квадрат со стороной, равной единице длины, за единицу объёма – куб с соответствующей стороной. Следует помнить, что 1 гектар – это 10^-2 км², 100 ар (10⁴ м²). Углы измеряются в градусах (1 градус – центральный угол с дуговым градусом в 1/360 окружности), минутах (1/60 градуса) и секундах (1/60 минуты). Иногда углы задаются в радианах, тогда для перехода следует помнить, что 1 радиан – это 206265 секунд. Иногда прямой угол делят на сто частей – гонов. Каждый гон делится на 100 десятичных минут, каждая минута – на 100 десятичных секунд. Тогда 1º = 1, 11…^д или 1^д = 0, 9º. В некоторых случаях необходимо измерить массу или время. Тогда масса измеряется в килограммах, время – в секундах.

Прямые и косвенные методы измерений. Измерение – это процесс сравнения измеряемой величины и некоторой заранее определённой. Измерения бывают прямыми – когда измеряется непосредственно величина, и косвенные – когда измеряются некоторые величины, от которых искомая зависит функционально. Так, при измерении расстояния рулеткой используют прямой метод, при измерении площади – косвенный.

3.2 Классификация погрешностей и методы ослабления их влияния на результаты измерений. Под воздействием ряда факторов при измерениях возникают погрешности измерений – разности между результатом измерения и истинным значением. Измерения всегда сопровождаются погрешностями. Погрешности подразделяются на грубые – превышающие некоторый заранее определённый предел (как правило, это просчёты); систематические - входящие в результаты измерений по определённой математической зависимости (постоянные, периодические, односторонне действующие); случайные – величину и знак которых предсказать невозможно. Систематическую постоянную погрешность можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть мы измеряем линейкой c номинальной длиной один метр некий отрезок, в котором она укладывается ровно три раза, тогда мы получаем длину отрезка равной 3 м. Предположим, что реальная длина линейки l = 1, 001 м. Тогда действительная длина отрезка есть l × n = 3× 1, 001 = 3, 003 м, а погрешность l_i = Δ l n = (1 – 1, 001)× 3 = 0, 003. Если при измерении горизонтального угла α центр транспортира устанавливают не на вершину измеряемого угла A, а в точку A', то возникает погрешность, которую можно определить по формуле λ = AA' sin α. Это периодическая погрешность, изменяющаяся по периодическому закону.

Для ослабления влияния систематических погрешностей применяют: введение поправок (равных погрешности по модулю и противоположных по знаку); выбор методики измерений (погрешности входят в результаты измерений с противоположными знаками, что освобождает от их влияния среднее арифметическое); ограничивают условия измерений (минимизируют величину систематической погрешности). Случайной погрешностью называют такую погрешность, величину и знак которой до проведения эксперимента (измерения) невозможно предсказать. Случайные погрешности обладают рядом свойств (не превышают предельной погрешности, отклонения, равные по величине и противоположные по знаку – равновероятны, малые отклонения встречаются чаще больших), из которых вытекает, что среднее арифметическое случайных погрешностей стремится к нулю. Если имеется ряд результатов измерений одной и той же величины, то необходимо определить наиболее надёжное значение. За такое значение принимают арифметическую средину (среднее арифметическое). Среднее арифметическое является экспериментальной оценкой математического ожидания, поэтому среднее арифметическое называют вероятнейшим значением.

3.3 Точность измерений. Погрешности функций измеренных величин. Оценки точности измерений. Точность измерений выражает степень близости результата измерения к действительному значению. Из-за наличия случайных погрешностей эта близость различна для разных результатов. Если одну и ту же величину измеряют одним и тем же способом при одних и тех же условиях, то результаты таких измерений называются равноточными. Точность измерений выражает степень близости результата измерений к действительному значению величины. Точность измерений характеризуют средней величиной случайной погрешности (случайного отклонения от истинного значения). В качестве теоретической характеристики берут среднее квадратическое отклонение

σ = √ (D(Δ)),

где D – дисперсия случайной погрешности измерения Δ. Так как величина σ – чисто теоретическая, то обычно пользуются средней квадратической погрешностью, или эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле

m = √ (Σ Δ _i ²/n) (формула Гаусса),

где Δ _i = l_i – Х – истинная погрешность i -того измерения. В случае, если не известно Х, используют отклонение результатов измерений l_i от вероятнейшего значения Х₀:

m = √ (Σ ν _i ²/(n – 1)) (формула Бесселя),

где ν _i = l_i – Х₀. При большом количестве измерений среднеквадратическая погрешность и квадратическое отклонение практически равны. Если известны средние квадратические погрешности некоторых величин, то можно определить среднеквадратическую погрешность функции от них. Если определена функция измеренных величин Φ = φ (x, y, …, z) и известны погрешности аргументов m_x, m_y, m_z, то квадрат средней квадратической погрешности функции вычисляют по формуле

m²_Φ = (∂ φ /∂ x)²m²_x +(∂ φ /∂ y)²m²_y + … + (∂ φ /∂ z)²m²_z,

где (∂ φ /∂ x), (∂ φ /∂ y), …, (∂ φ /∂ z) - частные производные от функции φ по аргументам x, y, …, z. Так, для линейной функции u = a₁x₁ + a₂x₂ +… + a_nx_n оценка точности имеет вид m_u² = Σ a_i²m_i².

Пусть имеется ряд измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n. Если средние квадратические погрешности этих измерений равны: m₁ = m₂ = … = m_n, то такой ряд называют равноточным. Таковыми будут, например, измерения, проведенные по одной методике одним и тем же прибором наблюдателями одинаковой квалификации. Если хотя бы одна из величин имеет среднюю квадратическую погрешность, отличную от других, то такой ряд называют неравноточным. Такое может произойти, если некоторые из ряда измерений производились прибором одной точности, а остальные – прибором другой точности. Для определения вероятнейшего значения и оценки точности используется понятие о весе. Вес результата измерения – это численная характеристика доверия к этому измерению. Вес p_i в общем виде характеризуют следующим отношением: p_i = c/m²_i, где с – постоянное для данного рада положительное число. Отметим, что от выбора численного значения величины «с» окончательный результат (вероятнейшее значение) и оценка его точности не зависят. Если даны результаты неравноточных измерений l₁, l₂, …, l_n и их веса p₁, p₂, …, p_n, то вероятнейшее значение вычисляют по формуле

Х₀ = Σ p_i l _i/Σ p_i.

Для оценки точности вычисляют среднюю квадратическую погрешность измерения с весом p_i = 1. Эту погрешность называют погрешностью единицы веса и вычисляют по формуле

μ = √ (Σ p_iδ ²_i /(n-1)),

где δ _i = l _i – Х₀ – отклонение от вероятнейшего значения (весового среднего). Для оценки точности Х и результатов измерений используют формулы

m_X0 = M = μ /√ Σ p_i, m_i = μ /√ p_i.

Для назначения весов не обязательно знать средние квадратические погрешности измерений. Обычно используют косвенные характеристики.

Одной из важных задач теории погрешностей является вычисление допустимых невязок и расхождений при проведении геодезических работ. Отправной точкой для расчётов допусков служит то, что невязка является погрешностью самой невязки. Так как погрешность – разность между результатом измерения и его точным значением, то Δ f = f – f _т = f, где Δ f – погрешность невязки. Следовательно, предельно возможное значение невязки (допустимая невязка), совпадает с предельной погрешностью этой невязки (f _доп = Δ f _пред). Предельную погрешность Δ f _пред можно вычислить, если известна средняя квадратическая погрешность невязки m _f; тогда Δ f _пред = τ m _f, где τ может принимать значения 2, 2, 5, 3 в зависимости от условий. Значение m _f может быть вычислено по известным правилам оценки точности функций в зависимости от вида геодезических операций.