Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Выполнить.




На экране: диалоговое окно Результаты поиска решения (рис.3.1.8).

 

Рис. 3.1.8. Диалоговое окно Результаты поиска решения.

 

Если решение не найдено, окно выведет соответствующее сообщение.

Если решение найдено, выделим все три типа отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы), нажмем OK, и результат решения задачи ─ на экране (рис. 3.1.9).

 

 

 

Рис. 3.1.9. Результаты решения задачи.

 

Мы видим, что в оптимальном решении: Х1 = 0 (B3), Х2 = 5 (C3), Х3 = 12,5 (D3), Х4= 0 (E3). При этом максимальная прибыль будет составлять 225 ден.ед. (F5). Экономическую интерпретацию полученных результатов мы приводили в примере 3.1.2 предыдущего раздела.

Для анализа полученного оптимального решения в Excel предусмотрены три типа отчетов: отчет по результатам, устойчивости, пределам.

В отчете по результатам приведены сведения о целевой функции, значениях искомых переменных и результаты оптимального решения для ограничений (рис. 3.1.10).

 

 

Рис 3.1.10. Отчет по результатам.

 

Для ограничений в столбце формула приведены зависимости, которые были введены в диалоговое окно Поиск решения; в столбце Значение приведены величины использованного ресурса; в столбце Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в столбце Статус указывается "связанное"; при неполном использовании ресурса в этом столбце указывается "не связан.". Для переменных показывается разность между значениями переменных в найденном оптимальном решении и заданным для них граничным условием.

В отчете по устойчивости (рис. 3.1.11) дан анализ по переменным и ограничениям. Исследования устойчивости оптимального решения ─ это изучение влияния изменений отдельно взятых параметров модели (оценок целевой функции, технико-экономических коэффициентов, объемов ограничений по ресурсам и продуктам, значений базисных переменных и др.) и ее структуры (введение новых ограничений и переменных или их сокращение) на показатели оптимального решения. Такой анализ позволяет судить о пределах допустимых изменений в оптимальном плане и его устойчивости.

В анализе переменных приведены следующие данные:

· результирующие значения переменных;

· нормированная стоимость, т.е. дополнительные двойственные переменные, которые показывают, насколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой переменной в оптимальное решение.

В зависимости от имеющейся версии могут присутствовать дополнительно и такие данные как коэффициенты целевой функции и допустимые значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.



 

Рис 3.1.11. Отчет по устойчивости.

 

В анализе ограничений приведены значения:

· величин использованных ресурсов;

· теневые цены, т.е. двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу.

В зависимости от имеющейся версии могут присутствовать дополнительно и такие данные как значения приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

В отчете по пределам (рис. 3.1.12) показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения.

 

 

Рис 3.1.12. Отчет по пределам.

 

3.2. Использование моделей оптимизации в различных

секторах экономики

 

С ориентацией на представленные в разд. 3.1 подходы к разработке методического, информационного, математического и программного обеспечения, разрабатываются базовые оптимизационные модели для конкретных экономических задач, приводятся модификации модели в зависимости от изменения исходных условий задачи. Модели представлены как в общем виде, так и в примерах. Для последних с помощью ППП находится решение модели и дается их экономическая интерпретация.

3.2.1. Использование моделей оптимизации в промышленности

 

Наиболее распространенной является задача оптимизации производственной программы. В общем видеона формулируется следующим образом. Предприятие выпускает несколько видов продукции , обладая при этом ограниченными запасами ресурсов . Известны нормы затрат ресурса i на производство единицы продукции j aij. Требуется найти структуру производства продукции, на которой обеспечивается максимум эффекта от выпуска (максимум выручки от реализации, минимум затрат). Если pj обозначить эффективность единицы продукции j (например, цена), то модель в общем виде запишется:



максимизируется выручка от реализации

(3.2.1)

при ограничениях на запас i -го ресурса

, (3.2.2)

и неотрицательности переменных

(3.2.3)

Отметим, что приведенный выше пример 1.1.1 задачи о красках представляет собой задачу оптимизации производственной программы.

Если существует ограничение на спрос продукции j-го вида (dj), то модель модифицируется: в модель дополнительно вводится ограничение .

Заметим, что модель (3.2.1)-(3.2.3) может быть сформулирована не только на максимум выручки, но и на минимум затрат. Пусть cj -затраты энергоресурсов на выпуск единицы продукции j -го вида. Тогда в модели задачи на минимум расхода энергоресурсов в отличие от модели (3.2.1)-(3.2.3) критерий оптимальности перепишется в виде:

при неизменных ограничениях (3.2.2)-(3.2.3).

Очевидно, что в такой формулировке оптимальное решение модели xj=0,

Такое математически правильное решение с экономической точки зрения абсурдно, т.к. представляет собой план максимальной экономии ресурсов, в соответствии с которым ничего не производится и все ресурсы остаются неиспользованными. Чтобы значение критерия оптимальности не скатывалось до 0, решение необходимо ограничить снизу, например, ввести ограничения на выполнение госзаказа ( ). Однако и в данной формулировке модель теряет смысл, т.к. оптимальный план известен ( ). Решение задачи на минимум затрат имеет смысл, если ввести ограничения на объемы производства с меньшей степенью подробности. Например, должен быть выполнен целевой показатель по валовому выпуску продукции в целом (P):

где pjценаединицы продукции j-го вида.

 

Пример 3.2.1. Предприятие выпускает два вида изделий и располагает следующими ресурсами (в расчете на одни сутки): фонд рабочего времени производственных рабочих – 660 чел.-час., суточный фонд древесины — 47 куб.м, стекла – 45 кв.м. Нормы расхода ресурсов в расчете на одно изделие представлены в следующей таблице:

Таблица

Нормы расхода ресурсов (пример 3.2.1)

Ресурсы Единица измерения Изделия
1вида II вида
Рабочее время Чел-час.
Древесина Куб.м. 0,5 0,3
Стекло Кв.м. - 1,5

 

Цена изделия I вида – 20 у.е., изделия II вида – 25 у.е.

В силу ограничения энергоресурсов на предприятии проводится политика энергосбережения. Требуется оценить оптимальную производственную программу исходя из требования минимизации расхода энергетических ресурсов, имея ввиду, что для производства одного изделия 1вида требуется 0,5 квт.-час., для производства одного изделия IIвида требуется 0,8 квт.-час. Известно также, что для устойчивости финансового положения предприятия суточная выручка от реализации не должна быть меньше 2000 у.е.

Решение. Построение модели осуществляется в три шага.

Шаг 1. Определим переменные модели, ориентируясь на показатели, которые необходимо найти. В задаче требуется построить модель для нахождения оптимальной структуры производственной программы по выпуску изделий первого, второго видов. Поэтому введем переменные: x1 — суточный объем производства продукции I вида, x2 — — суточный объем производства продукции II вида.

Шаг 2. С учетом введенных переменных формализованно опишем ограничения модели.

2.1. Построим систему ограничений на лимиты по ресурсам.

Рабочее время. Учитывая, что нормы расхода рабочего времени для производства единицы продукции I, II вида соответственно составляют 6 чел.-час., 10 чел.-час., для производства изделий I вида в объеме x1, изделий II вида в объеме x2 требуется оборудования в размере 6 x1+10x2 (чел.-час.). С другой стороны, объем использования оборудования не должен превышать имеющегося суточного фонда рабочего времени оборудования – 660 чел.-час. В формализованном виде это ограничение запишется с.о.:

6 x1+10x2 £ 660.

Древесина. Учитывая, что нормы расхода сырья для производства единицы продукции I, II, вида соответственно составляют 0,5 куб.м., 0,3 куб.м., для производства изделий I вида в объеме x1, изделий II вида в объеме x2 требуется расход древесины в объеме 0,5 x1+0,3x2 (куб.м.). С другой стороны, расход сырья не должен превышать суточного лимита сырья 47 куб.м.. В формализованном виде это ограничение запишется с.о.:

0,5 x1+0,3x2 £ 47.

Стекло. Аналогичные вышеизложенным рассуждения приводят к записи третьего ограничения: суточный расход стекла не должен превышать лимита:

1,5x2 £ 45.

2.2. Формально запишем требование, что обьем производства изделий каждого вида не может быть отрицательным:

x1 ³0, x2 ³0.

2.3. Чтобы исключить получение в такой постановке нулевого решения, необходимо решение ограничить снизу. В данном случае таким ограничением может выступать требование, как минимум, достижения целевой выручки: 20 x1+25x2³2000.

Шаг 3. Опишем формализованно критерий оптимизации модели. В такой постановке модель формулируется на минимум расхода энергоресурсов:

0,5 x1+0,8x2® min .

Таким образом, оптимизационная модель для решения задачи имеет вид:

0,5 x1+0,8x2® min

6x1+10x2 £ 660

0,5x1+0,3x2 £ 47

20 x1+25x2³2000

x1 ³0, x2 ³0.

В результате решения задачи на ПЭВМ получено оптимальное решение ( )=(88, 10), и соответствующее ему значение функционала =52. Таким образом, для достижения минимального расхода энергоресурсов в рамках заданных ограничений на материальные и трудовые ресурсы, и необходимости достижения, как минимум, целевого показателя объема производства в стоимостном выражении (2000 у.е.), требуется суточный объем производства продукции первого вида в объеме 88 единиц, второго – 10 единиц, при этом суточный расход электроэнергии составит 52 квт-час, а суточная выручка от реализации 2010 у.е. (20×88+25×10).

Модель задачи на максимум загрузки промышленного оборудования и ее модификации. Если в задаче оптимизации производственной программы в качестве ресурсов выступает оборудование, например, фрезерное, токарное, сверлильное, тогда ограничения описывают фонды времени работы оборудования соответствующего вида, измеряемое в станко-часах. В такой постановке задача (3.2.1)-(3.2.3) становится задачей загрузки невзаимозаменяемого оборудования. В задаче загрузки невзаимозаменяемого оборудования возможно использование различных критериев, в т.ч. и рассмотренных ранее. Основное отличие данной задачи от задачи оптимизации производственной программы заключается в истолковании bi, aij. Поскольку переменные представлены в станко-часах, то величина ( ) – есть не что иное, как неиспользованный остаток полезного фонда времени работы i -го оборудования. В этих обозначениях модель на максимум загрузки оборудования запишется:

минимум неиспользованного остатка полезного фонда времени работы оборудования

(3.2.4)

при ограничениях на фонды времени работы оборудования

, (3.2.5)

и неотрицательности переменных

(3.2.6)

В такой постановке максимум загрузки оборудования возможна за счет увеличения выпуска продукции.

 

Пример 3.2.2. Предприятие выпускает два вида изделий и располагает суточными фондами рабочего времени токарного оборудования — 660 станко-час., фрезерного оборудования – 780 станко-час. Нормы расхода оборудования в расчете на одно изделие представлены в следующей таблице:

Таблица

Нормы расхода оборудования (пример 3.2.2)

Ресурсы Единица измерения Изделия
I вида II вида
Токарное оборудование Станко-час.
Фрезерное оборудование Станко-час.

 

Требуется составить модель для определения оптимальной производственной программы предприятия, обеспечивающей предприятию максимальную загрузку имеющегося оборудования. На основе модели найти оптимальную производственную программу.

Решение. Задача в такой постановке представляет собой задачу на максимум загрузки промышленного оборудования. Определим переменные модели, ориентируясь на показатели, которые необходимо найти. В задаче требуется построить модель для нахождения оптимальной структуры производственной программы по выпуску изделий первого, второго видов. Поэтому введем переменные: - суточный объем производства продукции I вида, - суточный объем производства продукции II вида. В этих обозначениях является очевидным, что - это суточный фонд времени работы токарного оборудования, а — суточный фонд времени работы фрезерного оборудования. Тогда становится понятным экономический смысл показателя: , который выражает остаток полезного фонда времени токарного оборудования; соответственно: - остаток полезного фонда времени фрезерного оборудования.

С учетом введенных переменных формализовано опишем ограничения модели:

ограничение на использование рабочего времени токарного оборудования:

ограничение на использование рабочего времени фрезерного оборудования:

неявные ограничения на переменные:

,

целевая функция, описывающая минимум остатка полезного времени оборудования:

.

После решения задачи с помощью ППП, получаем:

Таким образом, оптимальная производственная программа предполагает производство продукции первого вида 54 единицы, второго- 112 единиц, при этом загрузка токарного оборудования является полной, а остаток полезного времени фрезерного оборудования – 4 станко-час.

 

Примером транспортной задачи может служить следующая проблема.

Пример 3.2.3.Для хранения одного вида сырья используется три склада А1, А2, А3, мощность которых определяется соответственно объемами 1800т, 900т, 1000т. В предстоящем периоде эти склады должны отправлять груз четырем предприятиям В1, В2, В3, В4, потребность которых в сырье характеризуется объемами 900т, 1000т, 1200т, 600т. Расстояние между предприятиями и складами приведено в табл.

Таблица

Расстояние между складами и предприятиями (км)(пример 3.2.3)

  В1 В2 В3 В4
А1
А2
А3

 

Определить объем поставок между предприятиями и складами на протяжении всего периода отгрузки, чтобы объем транспортной работы был минимальным.

Решение. В соответствии с методикой построения оптимизационной модели первоначально следует определить неизвестные задачи и на этой основе определить набор переменных. В нашей задаче требуется найти поставки между предприятиями и складами. Поскольку имеется 3 склада и 4 предприятия , то количество переменных 12: поставка с первого склада на первое предприятие, поставка с первого склада на второе предприятие, поставка с первого склада на третье предприятие и т.д., поставка с третьего склада на третье предприятие, и поставка с третьего склада на четвертое предприятие. Для формального описания модели удобно ввести переменные с двумя индексами:

xij — поставка продукции с i -го склада на j-е предприятие

В рамках этих обозначений модель транспортной задачи запишется:

минимум транспортной работы по доставке груза со всех складов на все предприятия

при ограничениях на запасы продукции на трех складах

и необходимости удовлетворения потребности каждого предприятия в продукции

и неотрицательности переменных

После решения задачи на компьютере (процедура «Поиск решения» системы Excel ) получаем следующий оптимальный план поставок :

Таблица

Оптимальный план поставок продукции (т)(пример 3.2.3)

  В1 В2 В3 В4
А1
А2
А3

 

Оптимальная схема поставок предусматривает связь поставщика А1 с потребителями В1, В3, В4 в объемах соответственно 900, 300, 600т, поставщика А2 – с потребителем В3 в объеме 900т, поставщика А3 – с потребителем В2 в объеме 1000т.

 

В общем виде транспортная задача моделирует процесс перевозок однородного продукта и формулируется следующим образом. Имеются пункты производства и потребления, связанные системой транспортных коммуникаций. Требуется построить такой план перевозок, чтобы во всех пунктах потребления удовлетворялся спрос и суммарные транспортные затраты были минимальными. Введем следующие обозначения:

i -индекс поставщика,

j- индекс потребителя,

ai — мощность i-го поставщика,

bj — потребность j -го потребителя,

tij — затраты на перевозку единицы продукции от i-го поставщика j -му потребителю,

xij — объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю.

В этих обозначениях базовая модель транспортной задачи запишется следующим образом:

минимум суммарных транспортных затрат

(3.2.7)

при выполнении баланса распределения продукции каждого поставщика

(3.2.8)

при выполнении баланса удовлетворения потребностей каждого потребителя

(3.2.9)

при выполнении запрета на обратные поставки

(3.2.10)

Транспортная задача, в которой суммарные мощности поставщиков и суммарные потребности потребителей равны, называется закрытой транспортной задачей. В противном случае транспортная задача называется открытой. В приведенном выше примере 3.2.3 была рассмотрена закрытая транспортная задача, поскольку суммарные мощности трех поставщиков и суммарные потребности четырех потребителей были равны и составляли 3700т. Вариантом открытой транспортной задачи является случай, когда суммарные мощности поставщиков превышают суммарные потребности потребителей

. В этом случае модификация модели (3.2.7)-(3.2.10) состоит в изменении баланса распределения продукции каждого поставщика. В данном случае модифицированное соотношение характеризует условие, что поставки на предприятия с каждого склада не превышают имеющегося там запаса продукции:

(3.2.8¢)

Классическая транспортная задача в экономике предприятий встречается очень редко. Обычно при построении модели задачи транспортного типа вводят целый ряд дополнительных ограничений. При этом формальное описание модели не меняется, изменяется лишь структура матрицы транспортных расходов.

Например, если отдельные поставки от поставщиков потребителям должны быть исключены (в силу, например, отсутствия условий хранения, перегрузки коммуникаций и т.д.), то это достигается искусственным завышением затрат на перевозки в клетках, соответствующих перевозкам, которые необходимо запретить.

В многопродуктовых транспортных задачах, когда одновременно с решением транспортной задачи необходимо распределить груз различного рода по потребителям, осуществляется следующая модификация. Поставщики k родов грузов разбиваются на k условных поставщиков, а потребители s -родов грузов разбиваются на s условных потребителей. При этом некоторые маршруты (ij) должны быть блокированы (закрыты), т.к. в данной постановке грузы разного рода не могут заменять друг друга. Многопродуктовую задачу не всегда обязательно описывать одной моделью. Например, если поставки грузов различного рода независимы, то задачу можно представить в виде комплекса транспортных задач по каждому роду груза. Однако, если между грузами различного рода существует взаимозаменяемость, то в общем случае модель не удается разбить на комплекс простых транспортных задач.

При моделировании транспортных связей по перевозке готовой продукции из пунктов производства в пункты потребления имеем т.н. одноэтапную модель. При отсутствии прямых связей по поставкам, наличии перевалки, может возникнуть необходимость в применении многоэтапной модели. Введем дополнительные обозначения:

r- индекс склада,

— емкость склада r-госклада.

Если , то задача решается в два этапа: сначала строится транспортная задача на минимум затрат по перевозке грузов от поставщиков на склады, затем на минимум затрат по перевозке со складов потребителям. Если суммарные емкости складов больше суммарной мощности поставщиков и суммарной потребности потребителей, т.е. , то необходимо по двум этапам совместить расчеты, т.к. в зависимости от использования емкости складов будут складываться разные схемы перевозки. В этом случае в транспортную матрицу в качестве поставщиков включают поставщиков и склады , в качестве потребителей – потребители и склады . Таким образом имеем транспортную матрицу размерности . Прямые поставки от поставщиков потребителям блокируют. Также блокируют поставки со склада на склад. Исключение составляют клетки, где описывается связь склада с самим собой. Транспортные затраты в этих клетках приравниваем 0. Если в результате решения задачи эти клетки будут заполнены, то числа в них будут показывать недоиспользованные емкости складов.

 

Пример 3.2.4. Имеются два поставщика груза (А,В) соответственно мощностью 400т и 600т и четыре потребителя (I, II, III, IV), потребность которых составляет соответственно 200т, 300т, 150т, 350т. Между поставщиками и потребителями отсутствуют прямые транспортные коммуникации. Сначала поставки осуществляются автомобильным транспортом, затем груз отгружается на склад и со склада доставляется потребителям железнодорожным транспортом. В наличии имеется три склада (1,2,3) емкостью 550т каждый. В таблицах приведены расстояния между поставщиками и складами и между складами и потребителями.

Таблица

Расстояние между поставщиками и складами (пример 3.2.4)

Поставщики Склады
А
В

 

Таблица

Расстояние между потребителями и складами (пример 3.2.4)

Склады Потребители
I II III IV

 

Построить модель для решения задачи и определить оптимальные схемы поставок от поставщиков потребителям.

Решение. Для построения модели многоэтапной транспортной задачи формируют единую матрицу расстояний, где поставщиками выступают: поставщики А и В и склады 1,2,3; потребители: склады 1,2,3 и потребители груза I, II, III, IV.

Таблица

Единая матрица расстояний (пример 3.2.4)

Поставщики Потребители
I II III IV
А М М М М
В М М М М
М М
М М
М М

 

В левом нижнем блоке отражаются связи склада со складом. Поскольку перевозки грузов со склада на склад не допускаются, то расстояние между складами полагаются большими числами (М). Числовые значения М должны быть больше cij . В нашем примере можно положить М=1000, поскольку это значительно больше cij = 8. Клетки главной диагонали описывают связь склада с самим собой: транспортные затраты в таких клетках равны 0.

Для формализованного описания модели введем обозначения:

- поставка от i-го поставщика j-му потребителю,

Заметим, что поскольку суммарные мощности поставщиков (400+600+550+550+550=2650) равны суммарным потребностям потребителей (200+300+150+350+550+550+550=2650), имеем закрытую транспортную задачу.

В этих обозначениях модель запишется следующим образом.

Поставки от поставщиков А и В на все склады должны соответствовать имеющемуся у поставщиков запасу груза:

.

Поставки со складов 1,2,3 всем потребителям должны соответствовать емкости склада:

.

Емкость складов 1,2,3 должна соответствовать величине поставок от всех потребителей:

.

Потребность каждого потребителя должна быть удовлетворена поставками со складов:

.

Величина поставок не может быть отрицательной величиной:

Целевая функция характеризует минимум транспортной работы по перевозке грузов от всех поставщиков всем потребителям:

Результатом решения модели является следующий оптимальный план поставок:

Таблица

Оптимальный план поставок (пример 3.2.4)

Поставщики Потребители
I II III IV
А 310,1 89,9          
В          
239,9       160,1  
  210,1   139,9    
         

 

Из оптимального плана поставок можно определить не только поставки от поставщиков на склады и со складов потребителям, но и можно определить соответствующие оптимальному плану недоиспользованные емкости складов: на складе 1 – 239,9т, на складе 2 – 210,1т, на складе 3 – 200т.

 

На основе транспортной задачи формулируются задачи развития и размещения производства. Сущность задачи состоит в оценке оптимальной мощности производителей, что является актуальным при строительстве новых предприятий и реконструкции действующих. Рассмотрим пример открытой транспортной задачи, включающей три поставщика и три потребителя.

 

Пример 3.2.5. Потребности потребителей (тыс.т), мощности поставщиков (тыс.т), транспортные затраты на перевозку единицы продукции (у.е.) приведены в таблице. Определить оптимальные мощности предприятий, исходя из условия минимизации транспортных затрат.

Таблица

Исходные данные транспортной задачи (пример 3.2.5)

Мощности поставщиков (тыс. т) Потребности потребителей (тыс.т)
1(у.е.) 6(у.е.) 1(у.е.)
2(у.е.) 5(у.е.) 3(у.е.)
3(у.е.) 4(у.е.) 10(у.е.)

 

Решение. Имеем открытую транспортную задачу, т.к. суммарные мощности поставщиков ( 16 тыс.т) превышают суммарные потребности потребителей 12 (тыс.т). Введем фиктивного потребителя мощность которого составит величину дисбаланса (4 тыс.т). В результате имеем закрытую транспортную задачу, после решения которой получаем следующий оптимальный план:

Таблица

Оптимальное решение (пример 3.2.5)

Мощности поставщиков Потребности потребителей
реальные фиктивные
   
 
 

 

Числа в клетках представляют оптимальный план перевозок продукции. Исходя из условия минимума транспортных затрат, оптимальные мощности поставщиков составят: первого поставщика 3 тыс. т (3+0+0), второго поставщика 3 тыс. т (2+0+1), третьего поставщика 6 тыс.т. (2+4+0).

 

Заметим, что в примере 3.2.5 фиктивная переменная означает, что 4 единицы продукции будут невостребованы и останутся у третьего поставщика невывезенными. Причем это происходит не из-за большой мощности, а из-за его удаленности от потребителей и, следовательно, невыгодности по сравнению с более близкими первым и вторым поставщиками. Изменим теперь условия задачи 3.2.5 следующим образом.

 

Пример 3.2.6. В дополнение к условиям задачи 3.2.5, пусть затраты на производство единицы продукции у трех поставщиков составляют соответственно 4,3, 1 у.е. Определить оптимальные мощности поставщиков, исходя из условия минимума производственно-транспортных затрат.

Решение. Добавим эти затраты построчно к показателям транспортных затрат (в фиктивном столбце затраты оставляем нулевыми). Решив задачу, получим оптимальный план, представленный в табл.

Таблица

Исходные данные транспортно-производственной задачи 3.2.6 и ее оптимальный план

Мощности поставщиков (тыс.т) Потребности потребителей(тыс.т)
Реальные Фиктивные
5(у.е.) 10(у.е.) 5(у.е.)
5(у.е.) 8(у.е.) 6(у.е.)
4(у.е.) 5(у.е.) 11(у.е.)

 

В данной задаче оптимальные мощности поставщиков изменились и составили соответственно 3,1,8тыс.т.

 

Сравнивая решения задач (3.2.5) и (3.2.6) видим, что низкие производственные затраты частично компенсировали невыгодность третьего поставщика с точки зрения затрат на транспортировку. Теперь востребовано 8 единиц его продукции. Для второго поставщика картина обратная. Что касается первого, то его более дорогие производственные затраты в 4 у.е. не превысили экономии на низких транспортных расходах.

Из приведенных примеров можно сделать вывод: план развития и размещения производства должен ориентироваться не только на минимум транспортных затрат, но и на минимум суммарных затрат на производство и транспортировку продукции.

С формальной математической стороны приведенная задача является транспортной. Однако с экономико-математической стороны – это задача развития и размещения производства, в которой выбор пунктов и размеров производства осуществляется с позиций совокупных транспортно-производственных затрат. Отметим, что в закрытой транспортной задаче никакое построчное изменение затрат на одинаковую величину, оптимального плана не изменит. Т.е. при равенстве суммарных потребностей потребителей и мощностей поставщиков вся продукция будет вывезена при любых производственных затратах, а план перевозок определится на основе минимизации только транспортных затрат. Открытая задача дает возможность выбора.

Далее дадим формальное описание модели. Введем следующие обозначения:

i — индекс пункта производства,

j — индекс пункта потребления,

aiмаксимально возможная мощность в i-м пункте производства,

bjпотребность j-го пункта потребления,

tij — затраты на перевозку единицы продукции из i-го пункта в j-й пункт,

si — затраты на производство единицы продукции в i-м пункте строительства,

xij — объем перевозок из пункта i в пункт j,

xi — размер производства в i-м пункте.

В приведенных обозначениях модель выглядит следующим образом:

Минимум суммарного объема затрат на производство и доставку продукции

(3.2.11)

При ограничениях

суммарный ввоз продукции в каждый из пунктов потребления должен быть равен его потребности

(3.2.12)

 

суммарный вывоз продукции из каждого пункта производства должен быть равен размеру производства, а последний не может превосходить максимально возможный предел

, (3.2.13)

Объемы перевозок и размеры производства неотрицательны

(3.2.14)

Модель (3.2.11)-( 3.2.14) представляет собой однопродуктовую задачу развития и размещения производства.

Примером технологической задачи рационального раскроя материалов может служить следующая проблема.

 

Пример 3.2.7. Из листов проката размером 5´10 кв.м. необходимо выкроить заготовки типа А размером 2´3 кв.м. и типа В размером 4´5 кв.м. Для производства необходимы не менее 200 ед. заготовок А и 100 ед. заготовок В. Предполагается использовать четыре способа раскроя листов проката, технологические характеристики которых представлены в таблице.

Таблица

Используемые способы раскроя и соответствующее им число заготовок (пример 3.2.7)

Титы заготовок
А
В

 

Определить какое количество листов материала необходимо раскроить по каждому способу раскроя, израсходовав минимальное количество исходных листов проката.

Решение. В соответствии с методикой построения оптимизационной модели в качестве переменных модели выбираем искомые показатели в задаче: количество исходных листов материала, раскраиваемых по каждому способу xj. С учетом этих переменных формальное описание модели запишется следующим образом:

Минимум израсходованных по всем способам раскроя листов материала

При ограничении на количество заготовок типа А и типа В

Число листов материала по каждому способу раскроя неотрицательное и целочисленное

 

В общем виде модель такой задачи строится следующим образом. Предположим, что из листов материала необходимо выкроить m разновидностей заготовок, причем заготовок i -го вида должно быть получено bi штук. В модель включается n различных способов раскроя, причем по каждому j -му способу известны величины aij — количество выкраиваемых заготовок i-го вида. Неизвестные величины xj -обозначают количество исходного материала, которое следует раскраивать по j-му способу.

Формально модель записывается следующим образом:

Минимум расхода листов материала

(3.2.15)

при ограничениях на количество заготовок каждого вида

(3.2.16)

неотрицательности и целочисленности переменных

(3.2.17)

На практике приходится вести раскрой как листового, так и рулонного материала. В последнем случае каждый вариант раскроя характеризуется наличием остатков: cj — величина отходов при использовании j -го способа раскроя. В этом случае в модели модифицируется критерий оптимальности, который формулируется как минимум отходов и формально записывается в виде:

(3.2.15¢)

Вообще говоря, построению модели задачи рационального раскроя материалов предшествует работа по установлению различных возможных способов раскроя материалов. Обычно число этих способов весьма велико, причем некоторые способы дают настолько большой отход, что почти наверняка в оптимальный план не войдут. Поскольку количеством включенных в модель способов непосредственно определяется размер матрицы задачи и число переменных, то целесообразно заранее исключать из рассмотрения явно нерациональные способы. Однако количество остающихся способов должно быть достаточно большим, во всяком случае с числом разновидностей заготовок.

К технологическим задачам относятся задачи на оптимальное составление смесей и соединений. Обычно эти задачи актуальны на металлургических, химических, нефтеперерабатывающих заводах, тех предприятиях, на которых продукция получается в результате смешивания различных видов материала. Обычно исходные компоненты смесей в той или иной мере взаимозаменяемы и важно только обеспечить, чтобы готовый продукт отвечал необходимым требованиям по своему качеству. В данном случае модель позволяет найти набор компонентов смеси, при котором продукция заданного качества получается с минимальными затратами. Формально задача формулируется следующим образом. Для производства продукции (например, чугунного литья) могут быть использованы n различных шихтовых материалов (например, чугун литейный, чугун зеркальный, стальной лом, феррофосфор и т.д.). Химический состав чугунного литья определяется содержанием в нем m химических элементов (кремния, марганца, фосфора, хрома и.т.д.). Известны величины hij содержание j-го химического элемента в i-м исходном шихтовом материале. Готовый чугун должен иметь строго определенный химический состав, задаваемый величинами Hj долей j-го химического элемента в готовом продукте. Известна цена pi за единицу каждого i-го шихтового материала. Требуется подобрать наиболее дешевый состав шихты, обеспечивающий получение литья заданного качества, т.е. определить оптимальное сочетание значений xi долей i-х исходных материалов в составе шихты.

В этих обозначениях модель записывается :

минимум затрат на производство продукции

(3.2.18)

При выполнении качественных характеристик состава продукции

-сумма долей различных шихтовых материалов равнялась 1

(3.2.19)

- при соблюдении заданного химического состава чугунного литья

(3.2.20)

- величина долей исходных материалов в составе шихты неотрицательна

, (3.2.21)

Ограничения не обязательно должны иметь форму равенств: для химических элементов, ухудшающих качество материала, ограничения целесообразно задавать в виде неравенства типа «меньше или равно».

 

Пример 3.2.8. Для получения сплава используются три вида сырья S1, S2, S3 содержащего никель, железо, марганец, прочие вещества. В сплав может входить не менее 4% никеля, не более 75% железа, 20% марганца. Цена одной тонны сырья составляет соответственно 100у.е., 50 у.е., 70 у.е. В таблице приведен состав каждого вида сырья

Таблица

Содержание компонентов сырья (%) (пример 3.2.8)

Компоненты сплава S1 S2 S3
Железо
Никель
Марганец
Прочие

 

Определит оптимальный состав шихты, для которого стоимость сплава будет минимальной.

Решение. Введем обозначения: xi — доля i-го исходного сырья ( Si ) в составе сплава. В этих обозначениях ограничительные условия задачи запишутся следующим образом:

содержание никеля в сплаве должно быть не менее 4%:

содержание железа в сплаве должно быть не более 75%:

содержание марганца в сплаве должно быть 20%:

структура сплава формируется из трех видов сырья:

показатели структуры не могут быть отрицательными:

.

Целевая функция характеризует, что структура сплава должна иметь минимальную стоимость:

После решения задачи на ПЭВМ получаем оптимальное решение задачи: x1=1, x2=0, x3=0, что означает что сплав с заданными технологическими характеристиками предполагается получить только из сырья S1.

 

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.09 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал