Особенности регрессионных моделей

Рассмотренные нами ранее модели были представлены функциональными зависимостями показателей, т.е. каждому значению показателя-фактора соответствует строго определенное значение результативного показателя. Например, в примере 1.2.1 имитационной модели налоговые поступления определялись ставками налога и соответствующими им налогооблагаемыми базами, а в примере 1.1.1 оптимизационной модели суточный расход ресурсов определяется объемом производства и нормами расхода ресурсов, выручка от реализации – ценой и объемами продаж. Функциональная зависимость имеет место тогда, когда результативный показатель зависит только от рассматриваемых факторов и никакие неучтенные факторы на него не оказывают влияние.

Но на практике при проведении аналитических исследований приходится рассматривать факторы, не позволяющие функционально описать динамику результативного показателя от факторов. Так, представляет экономический интерес исследование динамики объемов производства в зависимости от инвестиций. Очевидно, что помимо инвестиций на объем производства влияют и другие факторы: конечный спрос, уровень инфляции, динамика экономической конъюнктуры, система организации производства и т.д. В данном контексте невозможно зависимость указанных факторов на объем производства описать функционально. Поэтому в экономических исследованиях выделяют набор основных факторов и группу неучтенных факторов. В этом случае возможна ситуация, когда одинаковым значениям основного фактора x соответствует множество различных значений показателя y. Такого характера зависимости называются стохастическими, они и являются объектом построения эконометрических моделей.

Пример 4.1.1. Изучалась зависимость объема производства (y) на предприятиях, производящих однотипную продукцию, от капвложений (x). Были собраны данные по 12 предприятиям, представленные в таблице. Оценить наличие связи между показателями.

Таблица

Исходные данные примера 4.1.1

Решение. Представим данную информацию с помощью диаграммы рассеяния.

Рис. 4.1.1. Диаграмма рассеяния, соответствующая данным примера 4.1.1, и общий вид регрессионной прямой и ее параметров.

По скоплению точек на диаграмме видно, что зависимость между показателями существует, об этом свидетельствует полоса, описывающая зависимость. Данная зависимость не такая жесткая как функциональная. Из рисунка видно, что зависимость между показателями прямая: с ростом x увеличивается y.

Зависимость между показателями примера 4.1.1 является стохастической и может быть формально описана регрессионной моделью. Линия, которая аппроксимирует зависимость, называется линией регрессии, а описывающее ее уравнение – уравнением регрессии. В разделе 4.1.2 приведено строгое определение этих понятий. Здесь и далее будем использовать следующую терминологию: y будем называть зависимым или результативным показателем, x – фактором или независимым показателем.

По аналитической форме выделяют линейные и нелинейные модели. Достоинство линейной модели состоит в четкой экономической интерпретации ее параметров, и в возможности оценки параметров регрессии методом наименьших квадратов. В группе нелинейных функций выделяют класс линеаризуемых функций, которые с помощью тожественных преобразований могут быть приведены к линейному виду.

В данном учебном пособии мы ограничиваемся рассмотрением только линейных функций из тех соображений, что большинство экономически интерпретируемых функций можно путем тождественных преобразований привести к линейному виду.

Приведенные функции, исходя из практического опыта построения эконометрических моделей уже имели использование. Например, гипербола в случае b > 0 хорошо описывает динамику нормативных показателей: с расширением сферы влияния факторов ресурсосбережения нормы расхода асимптотически приближаются к своему предельно возможному уровню; в случае b < 0 гипербола хорошо описывает функции насыщения: очень медленное повышение результативного показателя с ростом значений фактора. Показательная функция хорошо описывает зависимости объема производства от факторов производства, параболическая (в случае b ₂< 0)– между расходами на рекламу и прибылью, объемами производства и ставкой налога.

Различают уравнения парной и множественной регрессии. В случае парной регрессии рассматривают зависимость показателя y от одного фактора , множественная регрессия предполагает исследование зависимости результирующего показателя y от группы факторов .

Таблица 4.1.1