Теорема отсчетов

Теорема отсчетов является центральной темой дискретизации сигналов. Дискретизация – это получение отсчетов (sampling) сигнала. При произвольной частоте отсчетов дискретизация является неоднозначным процессом. Из нижеследующей иллюстрации очевидно следует, что одной и той же последовательности отсчетов может соответствовать бесчисленное множество функций. Как часто, с какой частотой FS следует брать отсчеты, чтобы не допустить потери информации в сигнале? Ответ на этот вопрос дает теорема отсчетов. Чтобы её сформулировать рассмотрим более подробно процесс дискретизации в частотной области. Как показано в предыдущей лекции, спектр дискретного сигнала при частоте отсчетов имеет вид , здесь - спектр аналогового сигнала (до дискретизации). Т.о., спектр дискретного сигнала Xp(jω) – периодический с периодом .

Будем рассматривать аналоговый сигнал xa(t) с ограниченной полосой частот (ограниченным или финитным спектром), при этом ω m – верхняя граничная частота спектра сигнала. Такой сигнал называют частотно – ограниченным, англ. bandlimited signal. При дискретизации таких сигналов возможны два случая.

1. Частота отсчетов , при этом поведение спектров имеет следующий вид

В этом случае при дискретизации не происходит наложение спектров. Поэтому если после дискретизации пропустить сигнал через фильтр нижних частот с усилением Т и частотой среза , то возможно восстановление исходного аналогового сигнала. Выходной сигнал фильтра

2. Частота отсчетов , при этом происходит наложение (aliasing) повторяющихся спектров. Спектр дискретного сигнала имеет следующий характер

При дискретизации с частотой спектр аналогового сигнала Xa(jω) не может быть точно восстановлен пропусканием его через ФНЧ из-за наложения репликаций(повторений) соседних спектров. Происходит наложение (aliasing) соседних копий спектра на основную полосу частот сигнала. Таким образом, мы обосновали основной результат в дискретизации сигналов – теорему отсчетов. Если сигнал не имеет спектральных составляющих с частотами выше fm, то он полностью определяется своими отсчетами в дискретные моменты времени через интервал отсчетов или с частотой отсчетов .

Т.о., частота отсчетов должна быть не меньше, чем 2fm. то есть при соблюдении условий теоремы отсчетов по дискретному сигналу можно восстановить исходный сигнал с финитным спектром без искажений. Ограничение теоремы имеет смысл неравенства. Минимальная частота отсчетов – это 2fm. На практике обычно используют , в зависимости от требуемой точности восстановления сигнала. Например, клиническая ЭКГ имеет полосу частот 0, 05 – 100 Гц, и обычно используется частота дискретизации 500 Гц.

Теорему отсчетов называют также теоремой Найквиста, теоремой Шеннона, теоремой Котельникова. Результат получен независимо этими тремя авторами в конце 20-х и в начале тридцатых годов ХХ века.

Частота [рад/с] или FS [Гц] - это частота (скорость) отсчетов. Частота или называется частотой Найквиста (частотой Котельникова) или частотой свертывания (folding frequency). При определенной частоте отсчетов FS она определяет максимальную граничную частоту сигнала fm. Необходимое условие дискретизации .

Наложение (алиасинг, англ. aliasing) гармоник при дискретизации сигналов. Рассмотрим вновь связь аналоговой синусоиды и дискретной

Здесь f –частота аналоговой гармоники, – дискретная частота гармоники, FS – частота отсчетов, Т - интервал отсчетов. Для дискретной синусоиды частота - это нормализованная частота, т.е. частота аналогового сигнала, деленная на частоту отсчетов FS, - угловая (круговая) нормализованная частота.

При одинаковых значениях f / FS получаем одно и то же значение x[n].

По теореме отсчетов необходимо, чтобы или . Таким образом, при частоте отсчетов Fs максимально возможная частота синусоиды . Если это условие не выполняется, то возникает алиасинг (наложение гармоник).

Например, если частота отсчетов Fs = 40 Гц и частота одной гармоники f1 = 10 Гц, а другой f2 = 50 Гц, то .

Представим эти дискретные гармоники при дискретизации с частотой 40 Гц

Отсюда видно, что , т.е. при такой частоте дискретизации гармоники с частотами 10 Гц и 50 Гц не различимы. Произошло наложение (aliasing) гармоник. Демонстрация примера в Matlab:

f=40; t=0: 1/f: 0.2; x1=cos(2*pi*10*t); x2=cos(2*pi*50*t); plot(t, x1, 'ro', t, x2)

t1=0: 0.001: 0.2; hold on x3=cos(2*pi*10*t1); x4=cos(2*pi*50*t1); plot(t1, x3, t1, x4)

legend('x1', 'x2', 'x3', 'x4')

Сигналы x1, x2 дискретизированы с частотой f = 40 Гц, сигналы x3, x4 – с частотой 1000 Гц.

Частота Найквиста , называемая также частотой свертывания (folding frequency), является также частотой, относительно которой происходит свертывание по частоте гармоник более высоких частот.

Диаграмма, поясняющая свертывание гармоник

Все гармоники с частотами в результате дискретизации налагаются друг на друга (подменяют друг друга). Например, для вышеприведенного примера гармоники с частотой f1= 10 Гц и f2=10+1* 40 = 50 Гц при дискретизации с частотой 40 Гц неразличимы. Частоты могут образовывать ложные частотные компоненты.

Другой пример алиасинга. Гармоника с частотой 10+1*44, 1=54, 1 кГц для уха человека – неслышимая. Но помеха с такой частотой, появившаяся от внешнего источника, например, искрящего контактного провода или атмосферного разряда, при дискретизации с частотой 44, 1 кГц будет трансформирована в слышимую частоту 10 кГц (10+1*44, 1=54, 1), если аналоговый сигнал до АЦП предварительно не отфильтрован.

Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени сопровождается его искажением. В частности, при съемке камерой быстро вращающихся объектов алиасинг может привести к эффекту, когда изображение объекта замедляет вращение или вращается в обратную сторону.

Диаграмма, поясняющая свертывание гармоник

Частота - это частота Найквиста. Можно представлять, что ось частот f над интервалом 0 – FNсложена гармошкой отрезками по FN Гц. Поэтому частота Найквиста называется такжечастотой свертывания.

Все гармоники с частотами в результате дискретизации налагаются друг на друга (подменяют друг друга). Например, для вышеприведенного примера гармоники с частотой f1= 10 Гц и f2=10+1* 40 = 50 Гц при дискретизации с частотой 40 Гц неразличимы. Частоты могут образовывать ложные частотные компоненты.

Другой пример алиасинга. Гармоника с частотой 10+1*44, 1=54, 1 кГц для уха человека – неслышимая. Но помеха с такой частотой, появившаяся от внешнего источника, например, искрящего контактного провода или атмосферного разряда, при дискретизации с частотой 44, 1 кГц будет трансформирована в слышимую частоту 10 кГц (10+1*44, 1=54, 1), если аналоговый сигнал до АЦП предварительно не отфильтрован.

Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени сопровождается его искажением. В частности, при съемке камерой быстро вращающихся объектов алиасинг может привести к эффекту, когда изображение объекта замедляет вращение или вращается в обратную сторону.

Фильтры защиты от наложений спектров. Из соотношения неопределенности для сигналов

следует, что сигналы конечной длительности теоретически не могут иметь конечную ширину спектра, поскольку ширина полосы сигнала . Поэтому при дискретизации реальных сигналов конечной длительности всегда происходит наложение спектров. Вид спектра после дискретизации для аналоговых сигналов с неограниченным спектром. «Хвосты» спектров продолжаются по всей оси частот .

Очевидно, что в большей или меньшей мере возникает наложение спектров. В результате искажается спектр основной полосы сигнала, а значит, и сам сигнал. Для устранения или по крайней мере для значительного уменьшения влияния наложения спектров при аналого – цифровом преобразовании (АЦП) сигналов используют фильтры защиты от наложений спектров. Их называют также предфильтрами или антиалиасинговыми фильтрами (antialising filter). Такой фильтр должен резко ослаблять частотные составляющие спектра сигнала с частотами выше частоты Найквиста .

Фильтр защиты от наложений должен подавлять составляющие частотного спектра сигнала на частотах, превышающих частоту Найквиста до уровня, меньшего, чем погрешность (шум) квантования,

Отсюда минимальное ослабление фильтра на частоте Найквиста должно быть не менее дБ. Здесь В – число бит АЦП, 2В - число уровней квантования.

Например, для 10-битового АЦП дБ, для 16 –битового АЦП дБ.

В относительных единицах 60 дБ составляет , а 90 дБ - . Т.е. коэффициент передачи фильтра в полосе задерживания должен быть более чем в 30000 раз меньше, чем в полосе пропускания.

Таким образом, к низкочастотным фильтрам защиты от наложений спектров предъявляются высокие требования по необходимому ослаблению в переходной полосе и полосе задерживания, а также ширины переходной полосы. Такие аналоговые фильтры являются достаточно сложными и дорогими и удорожают стоимость аппаратуры. Альтернатива: увеличение частоты отсчетов FS значительно выше 2fm (oversampling).