ВАРІАНТ 0. Спочатку знайдемо декартовий добуток множин А і В: А×В={(10;2), (10;5) (10;7), (19;2), (19;5)

І. Дано множини А ={10, 19, 13, 5} і В={2, 5, 7}. Запишіть відповідність α ={(a; b)\aєA, bєB і (a-b): 8} парами, вкажіть її область визначення, множину значень, побудуйте граф і графік. Запишіть множину образів та прообразів одержаної відповідності.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо декартовий добуток множин А і В: А × В={(10; 2), (10; 5) (10; 7), (19; 2), (19; 5), (19; 7), (13; 2), (13; 5), (13; 7), (5; 2), (5; 7), (5; 5)}. Виділомо ті елементи А × В, які належать даній відповідності α ={(10; 2), (13; 5)}. Отже, область визначення Х={10, 13}, а множина значень У={2, 5}. Побудуємо граф цієї відповідності:

Графік відповідності має вигляд:

Оскільки множина значень відповідності α (А) є об’єднанням образів всіх елементів множини А, а область визначення відповідності α ^-1(В) є об’єднанням прообразів усіх елементів множини В, то α (А)={2, 5}, α ^-1(В)={10, 13}.

ІІ. Відображення F множини Х на множину У задано за допомогою графіка G ={(m; 2), (n; 3), (k; 4), (p; 5)}. Запишіть: а) множину відправлення Х і множину прибуття У; б) множину пар, що належать графіку відповідності F^-1, оберненої даному відображенню. Чи буде одержана відповідність відображенням?

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Множина відправлення Х відображення F буде складатися із перших компонентів пар, тобто Х={m, n, k, p}. Множина прибуття У відображення F складатиметься із других компонентів пар, тобто У={2, 3, 4, 5)}.

Для того, щоб одержати множину пар, що належать графіку відповідності, оберненої відображенню F, ми повинні кожному елементу із множини У поставити у відповідність елемент із множини Х так, щоб елементу «у» у відображенні F^-1 відповідав такий елемент «х», що виконується умова (х; у)єF. Отже, F^-1={(2; m), (3; n), (4; k), (5; p)}.

Як відомо, відображення – це всюди визначена функціональна відповідність, коли кожному елементу з множини відправлення відповідає єдиний елемент у множині прибуття. Отже, ця відповідність є відображенням. Оскільки кожен елемент з множини прибуття має прообраз у множині відправлення, то це буде відображення множини на множину.

ІІІ. З’ясувати, які властивості має відношення α =«х у 5 разів більший за у», задане на множині натуральних чисел.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Будь-яке відношення може мати властивості рефлексивності, антирефлексивності, симетричності, антисиметричності, транзитивності, антитранзитивності.

Оскільки кожне натуральне число не більше саме за себе у 5 разів, то дане відношення має властивість антирефлексивності.

Оскільки, якщо натуральне число «х» у 5 разів більше за число «у», то неправильно, що число «у» у 5 разів більше за число «х». Отже, дане відношення має властивість антисиметричності.

Оскільки, із того що натуральне число «х» у 5 разів більше за число «у», а число «у» у 5 разів більше за число «z», випливає, що число «х» більше за число «z» у 25 разів, то дане відношення має властивість антитранзитивності.

Таким чином, задане відношення має властивості антирефлексивності, антисиметричності і антитранзитивності.

ІУ. Доведіть, що задане відношення β =“х проживає на одному поверсі з у” є відношенням еквівалентності на множині людей.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Як відомо, відношенням еквівалентності називається відношення. Яке має властивості рефлексивності, симетричності і транзитивності. Перевіримо наявність цих властивостей у заданого відношення. Оскільки кожна людина проживає на одному поверсі сама із собою, тобто виконується умова х β х, то дане відношення є рефлексивним.

Якщо людина «х» проживає на одному поверсі з людиною «у», то і людина «у» проживає на одному поверсі з людиною «х», тобто із х β у випливає у β х. Отже, задане відношення має властивість симетричності.

Оскільки із того, що людина «х» проживає на одному поверсі з людиною «у» і із того, що людина «у» проживає на одному поверсі з людиною «z», випливає, що людина «х» проживає на одному поверсі з людиною «z», тобто (хβ уÙ уβ z)Þ (хβ z). Отже, дане відношення транзитивне. Таким чином, задане відношення β =“х проживає на одному поверсі з у” має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності, а тому є відношенням типу еквівалентності.