Решение типового примера. 1) Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R

у=х³+9х²+15х-9

1) Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R

2) Найдем производную функции

y^/=3x²+18x+15

3) Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю.

3x²+18x+15=0 разделим обе части уравнения на 3

х²+6х+5=0

D=36-4·5=16; x₁= ; x₂=

Значит функция имеет две критические точки х₁=-1, х₂=-5.

4) Найдем промежутки монотонности функции, для этого разбиваем область определения критическими точками на интервалы

+ – +

–5 –1

т. max т. min

Определим знак производной на каждом интервале:

y^/(0)=3·0²+18·0+15=15> 0, значит на интервале (-1; + ) производная функции положительная, значение функции возрастает.

y^/(-2)=3·(-2)²+18·(-2)+15=-9< 0, на промежутке (-5; -1) производная функции отрицательная, значения функции убывает.

y^/(-6)=3·(-6)²+18·(-6)+15=30> 0, на промежутке (- ; -5) производная функции положительная, значения функции возрастает.

Отсюда следует, что х₁=-5 – точка максимума (max), х₂=-1 – точка минимума (min).

5) Найдем значение функции в точках в точках экстремума

y_max=y(-5)=((-5)³+9(-5)²+15(-5)-9)=16

y_min=y(-1)=((-1)³+9(-1)²+15(-1)-9)=-16

6) Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований

у

0

-5 -3 -1 х