ІІ. Доведіть, використовуючи діаграми Ейлера-Вена чи міркування, що множини А´(В\С) і (А´В)\(А´С) рівні.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Доведемо, що множини А´ (В\С) і (А´ В)\(А´ С) рівні міркуваннями. Обидві множини є декартовими добутками множин, а тому складаються із впорядкованих пар. Щоб показати, що множини рівні слід довести, що 1) А´ (В\С)Ì (А´ В)\(А´ С) і 2) (А´ В)\(А´ С)Ì А´ (В\С). Доведемо, що кожна впорядкована пара першої множини належить другій. Нехай (a; b)єА´ (В\С), а це означає згідно означення декартового добутку, що aєА і bєВ\С. Звідси згідно означення різниці множин bєВ і . Оскільки aєА і bєВ, то за означенням декартового добутку множин (a; b)єА´ В. Оскільки aєА і , то , а тому (a; b)є(А´ В)\(А´ С). Впорядковану пару (a; b) в множині А´ (В\С) ми вибирали довільно, а тому наші міркування ми можемо повторити відносно будь-якої пари цієї множини. Отже, кожна пара множини А´ (В\С) належить множині (А´ В)\(А´ С), а тому за означенням підмножини даної множини справедливе твердження А´ (В\С)Ì (А´ В)\(А´ С).

Першу частину доведено. Доведемо тепер, що (А´ В)\(А´ С)Ì А´ (В\С). Нехай (х; у)є(А´ В)\(А´ С). Тоді згідно означення декартового добутку маємо: (х; у)є(А´ В) і . Якщо (х; у)є(А´ В), то за означенням декартового добутку маємо: хєА і уєВ. Оскільки хєА, уєВ і , то . Отже, уєВ\С, а тому (х; у)єА´ (В\С). Впорядковану пару (х; у) в множині (А´ В)\(А´ С) ми вибирали довільно, а тому наші міркування ми можемо повторити відносно будь-якої пари цієї множини. Отже, кожна пара множини (А´ В)\(А´ С) належить множині А´ (В\С), а тому за означенням підмножини даної множини справедливе твердження (А´ В)\(А´ С)Ì А´ (В\С).

У першій частині ми довели, що А´ (В\С)Ì (А´ В)\(А´ С), а в другій - (А´ В)\(А´ С)Ì А´ (В\С). Отже, за означенням рівності множин можна стверджувати, що А´ (В\С)=(А´ В)\(А´ С).

Використовуючи діаграми Ейлера–Венна, доведемо, що множини AÈ B і AÇ B рівні. Для цього побудуємо дві універсальні множини, зобразивши на лівій множину AÈ B, а на правій – множину AÇ B.

На лівій діаграмі множину AÈ B позначимо горизонтальними штрихами. На правій діаграмі множину А позначимо горизонтальними штрихами, а множину В – вертикальними штрихами. Тоді множина AÇ B буде на правій діаграмі позначатися тією частиною універсальної множини де штрихи накладаються. Порівнюючи зображення множин AÈ B і AÇ B на лівій і правій діаграмах, бачимо, що вони зображаються однаковими частинами універсальної множини. Отже, справедлива рівність AÈ B=AÇ B.

ІІІ. Знайти AÈ B, AÇ B, А\В, В\А, якщо A={10, 20, 30, 40} і B={{10, 30}, 20, 40}.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Згідно означення об’єднання множин до множини AÈ B будуть входити елементи, які належать хоча б одній із множин А чи В. Отже, AÈ B={10, 20, 30, 40, {10; 30}}.

Згідно означення перетину множин до множини A Ç B будуть входити елементи, які є спільним для обох множин А і В. Отже, A Ç B={20, 40}.

Згідно означення різниці множин до множини A\B будуть входити ті елементи множини А, яких немає в множині В. Отже, A\B={10, 30}.

Згідно означення різниці множин до множини В\А будуть входити ті елементи множини В, яких немає в множині А. Отже, В\А={{10, 30}} (подвійні фігурні дужки використані тому, що до множини В\А входить лише один елемент. Який сам є двохелементною множиною).

ІУ. Зобразити на координатній прямій множини AÈ B, AÇ B, А\В, В\А, A_R, B_R, якщо A={х/хєR і -4≤ х< 7} і B={х/хєR і х> -7, 5}.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Множина А складається із дійсних чисел, які належать проміжку [-4; 7), а до множини В належать дійсні числа проміжку (- 7, 5; ). Отже, множина AÈ B зображатиметься на числовій прямій проміжком (- 7, 5; ).

А

- 7, 5 - 4 7

--------------º -----------------•------------------------------ º --------------------------à

В

Множина AÇ B буде зображатися спільною частиною проміжків [-4; 7) і (- 7, 5; ), тобто проміжком [-4; 7).

А

- 7, 5 - 4 7

--------------º -----------------•------------------------------ º --------------------------à

В

Множина А\В буде містити ті елементи множини А, яких немає в множині В, а тому на числовій прямій вона буде зображатися порожньою множиною, тобто А\В=Ø.

Множина В \А буде містити ті елементи множини В, яких немає в множині А, а тому на числовій прямій вона буде зображатися об’єднанням двох проміжків: (- 7, 5; - 4) È (- 7; ).

А

- 7, 5 - 4 7

--------------º -----------------•------------------------------ º --------------------------à

В

Множина A_R буде складатися із тих елементів множини дійсних чисел R, яких немає у множині А, а тому множина A_R зображатиметься на числовій прямій об’єднанням двох проміжків: (- ; - 4) È (- 7; ).

А

- 4 7

-------------------------------•------------------------------ º --------------------------à

Множина В _R буде складатися із тих елементів множини дійсних чисел R, яких немає у множині В, а тому множина В _R зображатиметься на числовій прямій проміжком: (- ; - 7, 5).

- 7, 5

-----------------------------º ----------------------------------------------- ----------à

В

У. Доведіть, що розбиття даної множини X={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30} за допомогою властивості «мати однакову остачу при діленні на 14» є розбиттям множини на підмножини, що попарно не перетинаються.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Для того, щоб довести, що властивість «мати однакову остачу при діленні на 14» дозволяє розбиття даної множини на підмножини, що попарно не перетинаються, необхідно перевірити виконання трьох умов означення, а саме: 1) одержані підмножини повинні бути не порожніми; 2) підмножини не повинні попарно перетинатися; 3) об’єднання одержаних підмножин повинно давати задану множину Х. При діленні на 14 можливі такі остачі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Отже, маємо такі підмножини: Х₀={14, 28}, Х₁={1, 15, 29}, Х₂={2, 16, 30}, Х₃={3, 17}, Х₄={4, 18}, Х₅={5, 19}, Х₆={6, 20}, Х₇={7, 21}, Х₈={8, 22}, Х₉={9, 23}, Х₁₀={10, 24}, Х₁₁={11, 25}, Х₁₂={12, 26}, Х₁₃={13, 27}. Легко бачити, що кожна із них непорожня, вони попарно не перетинаються та в об’єднання дають множину Х. Отже, всі умови означення виконанні, а тому за допомогою властивості «мати однакову остачу при діленні на 14» ми здійснили розбиття множини Х на підмножини (класи), що попарно не перетинаються.

УІ. Задайте декартів добуток множин Х і У всіма можливими способами, якщо X={1, 4, 7}, Y={5, 9, 13}.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Як відомо, декартів добуток множин можна задавати переліком елементів, за допомогою характеристичної властивості, таблицею, графом, графіком, аналітично. Згідно означення декартового добутку множин до нього входять впорядковані пари такі, що перша компонента належить множині Х, а друга – множині У. Отже, переліком елементів множина Х× У складається із таких впорядкованих пар: Х× У ={(1; 5), (1; 9), (1; 13), (4; 5), (4; 9), (4; 13), (7; 5), (7; 9), (7; 13)}.

За допомогою таблицю множина Х× У задаватиметься так:

У Х
	(1; 5)	(1; 9)	(1; 13)
	(4; 5)	(4; 9)	(4; 13)
	(7; 5)	(7; 9)	(7; 13)

За допомогою графа декартів добуток множин Х× У задаватиметься так:

За допомогою графіка декартів добуток множин Х× У можна задати так:

Задання декартового добутку за допомогою характеристичної властивості чи формулою навряд чи доцільно.

УІІ. Зобразити в прямокутній системі координат множину Х× У, якщо X={х/хєR і х≤ 5}, Y={ у/уєR і -6< у≤ 3}.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Множина Х складається із дійсних чисел таких, що х≤ 5. Саме тому у прямокутній системі координат вона буде зображатися смугою, яка розміщується ліворуч від прямої х=5.

Множина У складається із дійсних чисел таких, що -6< у≤ 3. Саме тому у прямокутній системі координат вона буде зображатися смугою, яка обмежена прямими у=-6 і у=3, причому точки прямої у=-6 не належать множині У, а тому зображатимуться штриховою лінією. Тоді множина Х× У буде зображатися спільною частиною вказаних смуг.

Отже, на малюнку множина зображається тією частиною координатної площини, на якій є подвійна штриховка.