Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала (корня ) или под знаком возведения в дробную степень (). Иррациональными являются уравнения и т. д.

Иррациональные уравнения можно свести к рациональным после ряда преобразований. Наилучший способ избавиться от иррациональности – метод введения новой переменной, если он возможен для данного уравнения. Когда это невозможно, надо изолировать один радикал и обе части уравнения возвести в степень, которая даст возможность освободиться от радикалов. При необходимости такую процедуру повторяют.

Необходимо учесть, что:

а) при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получим равносильное уравнение;

б) при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни.

При этом проверки корней по области допустимых значений недостаточно, нужно еще проверить, будут ли найденные корни удовлетворять начальное уравнение. В самом деле, уравнение и имеют одну и ту же область определения неизвестной. При возведении первого и второго уравнения в квадрат получим одно и то же уравнение . Решениями этого уравнения есть решения обеих иррациональных уравнений.

Здесь следует заметить, что при решении любых уравнений нельзя забывать об одном из мощнейших средств решения, которым является разложение на множители равные нулю.

Пример. Решить уравнение .

. Возведем в квадрат обе части , получим .

Проверка: .

Ответ .

Пример.

Решить уравнение .

ОДЗ этого уравнения

Попробуем разложить квадратные трехчлены 2 x ²-9 x + 4 и 2 x ² + 21 x – 11 на множители. Корнями первого являются числа 4; , а корнями второго (–11); , поэтому 2 x ²-9 x + 4 = (x – 4)(2 x – 1).

Воспользуемся 2 x ² + 21 x – 11 = (x + 11)(2 x – 1) и получим .

Когда 2 x – 1 ³ 0, то x + 11 ³ 0 и x – 4 ³ 0. Поэтому можно воспользоваться формулой при условии a ³ 0, b ³ 0 и вынести общий множитель за скобки.

Получим .

Отсюда

Обе части второго уравнения неотрицательны, что означает: при возведении в квадрат обеих частей уравнения будем иметь эквивалентные уравнения x – 4 = 1, x = 5.

Таким образом получено два корня: . Оба удовлетворяют области определения уравнения. При решении последовательно, получали каждый раз эквивалентные уравнения, поэтому непосредственной проверки в этом случае можно не делать.

Ответ:

Пример.Решить уравнение .

ОДЗ этого уравнения – . Разложим квадратный трехчлен x ²–3 x + 2 на множители: x ²–3 x + 2 = (x – 1)(x – 2).

Если , то . Тогда уравнение запишем в виде .

Это – так называемое однородное уравнение, т.е. такое, в котором одно выражение (зависящее от x) обозначим буквой u, а другое – v и получим уравнение, где все слагаемые одной и той же степени относительно u и v. В таком уравнении всегда можно ввести новую переменную, поделив обе его части на одно из слагаемых, только надо следить, чтобы не потерять корней.

В нашем уравнении, обозначив и , получим , т.е. все слагаемые второй степени. Значение x = 2 не будет корнем уравнения. Это легко проверить, если подставить x = 2. Поэтому поделим обе части уравнения на , после чего .

Пусть , тогда исследуемое уравнение запишется в виде с корнями . Через y былообозначено частное корней четной степени, поэтому она не может быть отрицательной, вот почему второй корень не подходит. Обращаясь к старой переменной, получим: . Дальше возведем обе части уравнения в четвертую степень. Они положительные, поэтому получим равнозначное уравнение . Вследствие решения: . По области определения этот корень подходит и при возведении обеих частей уравнения в четную четвертую степень, лишние корни не получены, поэтому проверка не нужна.

Ответ: .