Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним

Уравнение вида , где a, b, c – произвольные числа (a ≠ 0), а x – переменная, называется квадратным. Чтобы решить такое уравнение, нужно вычислить дискриминант D = b ²–4 ac. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два решения (корня): и .

Если D = 0, квадратное уравнение, очевидно, имеет два одинаковых решения (кратных корня).

Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решить, не вычисляя дискриминанта:

1) x (ax + b)=0

2) ax ² + c = 0 ax ² = – c ; если , то .

Между коэффициентами и корнями квадратного уравнение существует зависимости, известные как формулы или теорема Виета:

Биквадратные уравнения это уравнения вида , где a, b, c – произвольные числа (a ≠ 0). Уравнение решается с помощью замены , тогда из первоначального уравнения получаем квадратное уравнение, из которого находим у, а затем х, по формуле .

Пример. Решить уравнение . Приведем выражения в обеих частях равенства к общему знаменателю. или . Решаем полученное квадратное уравнение: , в этом уравнении a = 1, b = –2, c = –15, тогда дискриминант равен: D = b ²–4 ac = 64. Корни уравнения: , . Ответ: .

Пример.Решить уравнение . Делаем замену . Тогда уравнение принимает вид – квадратное уравнение, где a = 1, b = – 4, c = 3, его дискриминант равен: D = b ² – 4 ac = 16 – 12 = 4.

Корни квадратного уравнения равны соответственно: и .

Корни исходного уравнения , , , . Ответ: .

К уравнениям первой и второй степени сводится много дробных уравнений с одним неизвестным. Для решения таких уравнений полезно все дроби перенести в левую часть уравнения, сведя их к общему знаменателю,

т.е. свести его к уравнению вида , где P_n (x) и P_m (x) – многочлены степеней n и m соответственно. Дробь равняется нулю, если числитель равняется нулю, а знаменатель - нет, но такое многочленное уравнение преимущественно получают лишь после продолжительных преобразований, переходов от одного уравнения к другому. В процессе решения, таким образом, каждое уравнение заменяют на какое-то новое, а у нового могут быть новые корни. Проследить за этими изменениями корней, не допустить потерь корней и суметь отвергнуть лишние из них - задача правильного решения уравнений.

Понятно, что наилучший способ - каждый раз заменять одно уравнение на равнозначное, тогда корни последнего уравнения и будут корнями исходного. Тем не менее, такой идеальный путь тяжело осуществить на практике. Как правило, уравнение заменяют его следствием, вообще не обязательно ему равнозначным, при этом все корне первого уравнения есть корнями второго, т.е. потеря корней не происходит, но могут появиться посторонние (а могут и не появиться). В случае, когда хотя бы раз в процессе преобразований уравнения заменялось на неравнозначное, нужна обязательная проверка полученных корней.

Итак, если решение осуществлялось без анализа равнозначности и источников появления посторонних корней, проверка является обязательной частью решения. Без проверки решение не будет считаться полноценным, если даже посторонние корни не появились. Когда же они появились и не отброшены, то это решение просто неправильное.

Приведем некоторые свойства многочлена:

Корнем многочлена называют значение x, при котором многочлен равняется нулю. Любой многочлен степени n имеет ровно n корней. Если многочленное уравнение записано в виде , то , где x ₁, x ₂, …, x_n – корни уравнения.

У любого многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами есть хотя бы один действительный корень, а вообще у него всегда нечетное число действительных корней. Многочлен четной степени может не иметь действительных корней, и когда они есть - их количество четное.

Многочлен при любых обстоятельствах можно разложить на линейные множители и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом. Если знаем его корень x ₁, то P_n (x) = (x - x ₁) P_{n- 1}(x).

Если P_n (x) = 0 - уравнение четной степени, то кроме способа разложения его на множители, можно попробовать ввести замену переменной, с помощью которой степень уравнения понизится.

Пример. Решить уравнение:

.

Это уравнение третьей (нечетной) степени означает, что ввести вспомогательную переменную, которая понизит степень уравнения, - невозможно. Его надо решать методом разложения на множители левой части, для чего сначала раскроем скобки, а потом запишем его в стандартной форме.

Получим: x ³ + 5 x – 6 = 0.

Это приведенное уравнение (коэффициент при высшей степени равен единице), поэтому ищем его корни среди множителей свободного члена – 6. Это числа ±1, ±2, ±3, ±6. Подставляя x = 1 в уравнение, видим, что x = 1 является его корнем, поэтому многочлен x ³ + 5 x –6 = 0 делится на (x – 1) без остатка. Выполним это деление:

x ³ + 5 x –6 = 0 x – 1

x ³ – x ² x ² +x + 6

x ² + 5 x – 6

x ² – x

6 x – 6

6 x – 6

0.

Поэтому x ³ + 5 x –6 = 0; (x – 1)(x ² + x + 6) = 0

Первое уравнение дает корень x = 1, который уже подобран, а во втором уравнении D< 0, оно не имеет действительных решений. Поскольку ОДЗ этого уравнения , то можно не проверять.

Ответ: 1.

Пример. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения . Если перемножить первый множитель с третьим, а второй с четвертым, то в этих произведениях будут одинаковые части, которые зависят от x: (x ² + 4 x – 5)(x ² + 4 x – 21) - 297 = 0.

Пусть x ² + 4 x = y, тогда уравнение запишем в виде (y – 5)(y – 21) – 297 = 0.

Это квадратное уравнение имеет решения: y ₁ = 32, y ₂ = - 6. Возвращаясь к старым переменным, получим Первое уравнение по теореме Виета имеет корни x ₁ = – 8 и x ₂ = 4, а второе - отрицательный дискриминант.

Ответ: { – 8; 4}.

Пример. Решить уравнение ; ОДЗ: x ≠ – 9.

Если сведем данное уравнение к общему знаменателю, в числителе появится многочлен четвертой степени. Итак, допускается замена переменной, которая понизит степень уравнения. Поэтому не надо сразу сводить это уравнение к общему знаменателю. Здесь можно заметить, что слева стоит сумма квадратов. Итак, можно дополнить ее до полного квадрата суммы или разности. На самом деле вычтем и прибавим удвоенное произведение оснований этих квадратов: . Пусть , тогда y ² + 18 y – 40 = 0. По теореме Виета y ₁ = 2; y ₂ = – 20.

Первое уравнение дает решение , а во втором D < 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Ответ: .

Если уравнение имеет вид ax ⁴ + bx ³ + cx ² ± bx + a = 0, где a ≠ 0, то для него можно всегда ввести новую переменную, которая понизит его степень; x = 0 не является корнем уравнения, поэтому, если поделим обе части уравнения на x ², – не потеряем корней. В результате получим:

или .

Заменим переменную:

.

Получим квадратное уравнение a (y ² 2) + by + c = 0. Этого способа решения можно придерживаться также в других уравнениях четвертого порядка .