Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задание 6. Модели систем массового обслуживания
Пример 6.1. Туристская фирма обслуживает клиентов по телефону, имеющему разветвление на четыре линии. Проведенные исследования показали, что в среднем за один час работы поступает 100 запросов. Среднее время переговоров референтов фирмы с клиентом по телефону составляет 2, 5 мин. Необходимо дать оценку работы такой СМО. Решение. 1. Определим начальные данные: число каналов , число мест в очереди (данная система является системой без очереди), интенсивность поступления заявок (з/час), среднее время обслуживания , отсюда интенсивность обслуживания равна (з/час). 2. Возможные состояния системы: S 0 – звонков нет (начальное состояние); S 1 – обслуживается один звонок; S 2 – обслуживаются два звонка; S 3 – обслуживаются три звонка; S 4 – обслуживаются четыре звонка (конечное состояние, т.к. в системе 4 канала). 3. Графическая модель системы представлена на рис. 6.1.
4. Относительные интенсивности переходов из состояния в состояние: , , , . 5. Вероятность начального состояния: Вероятности остальных состояний: , , , . Проверим правильность вычислений – сумма всех вероятностей должна быть приблизительно равна 1: . 6. Вероятность отказа: . Это значит, что 32, 6 % всех поступающих звонков получают отказ в обслуживании. Вероятность обслуживания (относительная пропускная способность): . Т.е. обслуживаются 67, 4 % поступающих звонков. 7. Абсолютная пропускная способность: звонка в минуту. Среднее число занятых каналов: . Проверим правильность вычислений – должно быть меньше : 2, 8 < 4. Ответ: отказ получают 32, 6 % звонков, обслуживаются 67, 4 % поступающих звонков.
Пример 6.2. В мини-маркет поступает поток покупателей с интенсивностью 6 покупателей в минуту, которых обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью 2 покупателя в минуту. Длина очереди ограничена 5 покупателями. Необходимо определить основные характеристики данной системы. Решение. 1. Начальные данные: число каналов , число мест в очереди (мини-маркет является многоканальной системой с ограниченной очередью), интенсивность потока пациентов (п/мин); интенсивность потока обслуживания (п/мин). 2. Возможные состояния системы: S 0 – покупателей нет (начальное состояние); S 1 – обслуживается один покупатель; S 2 – обслуживаются два покупателя; S 3 – обслуживаются три покупателя; S 4 – обслуживаются три покупателя и один стоит в очереди; S 5 – обслуживаются три покупателя и двое стоят в очереди; S 6 – обслуживаются три покупателя и трое стоят в очереди; S 7 – обслуживаются три покупателя и четверо стоят в очереди; S 8 – обслуживаются три покупателя и пятеро стоят в очереди (конечное состояние, т.к. в системе 3 канала и 5 мест в очереди). 3. Графическая модель системы представлена на рис. 6.2.
4. Относительные интенсивности переходов: , , . 5. Вероятность начального состояния: Вероятности остальных состояний: , , , , , , , . Проверка правильности вычислений (сумма всех вероятностей должна быть приблизительно равна 1): 6. Вероятность отказа: , т.е. отказ получают 12, 6 % приходящих покупателей. Вероятность обслуживания: , т.е. обслуживается 87, 4 % приходящих покупателей. 7. Абсолютная пропускная способность: (покупателей / час). Среднее число занятых каналов (среднее число обслуживаемых заявок): . Сравним и : т.к. 2, 622 < 3, то вычисления верны. 8. Характеристики очереди: для определения средней длины очереди составим следующую схему:
Таблица
Среднее время ожидания в очереди: . 9. Обобщенные характеристики системы: Среднее число покупателей в мини-маркете: (покупателей). Среднее время пребывания покупателя в мини-маркете: Ответ: обслуживается 87, 4 % потенциальных покупателей, отказ получают 12, 6 %; в среднем в очереди покупатель проводит 18, 9 с, всего на посещение мини-маркета уходит 48, 9 с.
Пример 6.3. В расчетном узле магазина самообслуживания работают 3 кассы. Интенсивность входного потока составляет 5 покупателей в минуту. Интенсивность обслуживания каждого контролера-кассира составляет 2 покупателя в минуту. Очередь не ограничена. Определить характеристики СМО. Решение. 1. Начальные данные: число каналов , длина очереди (магазин является многоканальной системой с неограниченной очередью) интенсивность потока заявок (п/мин), интенсивность потока обслуживания (п/мин). 2. Возможные состояния системы: S 0 – покупателей нет (начальное состояние); S 1 – обслуживается один покупатель; S 2 – обслуживаются два покупателя; S 3 – обслуживаются три покупателя; S 4 – обслуживаются три покупателя и один стоит в очереди; S 5 – обслуживаются три покупателя и двое стоят в очереди; … (конечного состояния нет)
3. Графическая модель системы: 4. Найдем уровень загрузки системы: . Проверим условие существования стационарного режима: . 2, 5 < 3, поэтому стационарный режим работы существует, т.е. система работает без перегрузок. Среднее число занятых каналов: . 5. Вероятность того, что пришедшая заявка застанет систему свободной, вычисляется по формуле: . Так как , то Вероятность образования очереди: . 6. , , т.к. обслуживаются все заявки. 7. Характеристики очереди. Среднее число покупателей в очереди (средняя длина очереди): Среднее время ожидания в очереди: . 9. Обобщенные характеристики системы: Среднее число покупателей в магазине: (п.). Среднее время пребывания в магазине: Ответ: в среднем покупатель проводит в очереди 16, 74 с, всего на совершение покупок уходит 46, 74 с.
|