Решение. 1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

Z = a + bX + cY.

Для вычисления коэффициентов a, b, c необходимо решить систему уравнений:

Добавим в табл. 3.1 новые столбцы и строку Суммы и рассчитаем значения (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Подставляя значения сумм в систему, получим

Получилась линейная система с тремя переменными и тремя уравнениями. Решение этой системы можно найти, например, методом сложения. Для этого в каждом уравнении разделим все слагаемые на коэффициент при переменной a (в 1-м уравнении – на 5, во втором – на 29, 5, в 3-м – на 100).

Вычтем из 2-го уравнения 1-е, и из 3-го также 1-е.

Разделим 2-е уравнение на 0, 079, 3-е – на 0, 036.

Вычтем из 3-го уравнения 2-е.

Найдем из 3-го уравнения значение с и подставим во 2-е:

Подставим b и с в первое уравнение:

Отсюда получаем значения переменных:

.

Таким образом, уравнение множественной линейной регрессии запишется в виде:

.

2. Коэффициенты парной линейной корреляции вычисляются с помощью величин:

,

, .

а) корреляция между X и Y:

;

взаимосвязь между X и Y хорошая;

б) корреляция между X и Z:

;

взаимосвязь между X и Z очень хорошая;

в) корреляция между Y и Z:

.

взаимосвязь между Y и Z очень хорошая.

3. Коэффициенты множественной корреляции вычисляются по формулам:

взаимосвязь переменной X с переменными Y и Z очень хорошая;

взаимосвязь переменной Y с переменными X и Z очень хорошая;

взаимосвязь переменной Z с переменными X и Y очень хорошая.

4. Так как в уравнении фактор Z зависит от X и Y, то общим коэффициентом корреляции будет .

Коэффициент множественной детерминации:

.

Это означает следующее: изменение выработки продукции на одного работника на 94, 1 % зависит от ввода в действие новых основных фондов и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих. Доля прочих факторов, не включенных в модель, составляет 5, 9 % от общего изменения Z.

5. Вычисление коэффициентов частной корреляции:

а) ,

взаимосвязь между X и Y при постоянном значении Z удовлетворительная;

б) ,

взаимосвязь между X и Z при постоянном значении Y хорошая;

в) ,

взаимосвязь между Y и Z при постоянном значении X хорошая.

6. Значимость уравнения регрессии оценивается через общий F-критерий Фишера (m – количество независимых переменных в уравнении регрессии; в нашем случае m = 2):

.

Критическое значение определяется по таблице значений критерия Фишера (Приложение 1) при уровне значимости α = 0, 05 и числе степеней свободы и :

.

Т.к. , то уравнение является статистически незначимым. В этом случае следует либо включить в уравнение больше факторов, либо выбрать другую форму зависимости.

7. Прогнозное значение выработки продукции найдем, подставив в полученное уравнение Х = 7, 5 и Y = 23:

.

Ответ: прогнозное значение выработки продукции составит 12, 283 тыс. ден. ед.

Задание 5. Модели сетевого планирования