Задание 8. Многопродуктовая модель

управления запасами

Пример 8.1. Частное предприятие продает товары трех наименований. Общая величина площади торгового зала и подсобно-складских помещений 60 м². Известны следующие данные (табл. 8.1):

i – вид продукции,

К_i – организационные затраты (ден. ед.),

v_i – интенсивность спроса (ед.),

s_i – стоимость хранения единицы продукции (ден. ед.),

f_i – площадь для хранения единицы продукции (м²).

Показать, что ограничение на площадь является существенным. Найти оптимальное количество продукции 1-го и 2-го видов (погрешность в вычислениях может составлять ± 0, 2 м²). Определить минимальные затраты.

Таблица 8.1

Решение

1. Обозначим количество продукции первого, второго и третьего видов. Если не учитывать ограничение на площадь, то значения можно вычислить по формуле Уилсона для однопродуктовой модели:

2. Определим, какая площадь потребуется для хранения всей продукции:

= 251 · 0, 5 + 58 · 0, 3 + 85 · 0, 4 = 176, 9 (м²).

Поскольку полученное значение намного превышает заданную площадь в 60 м², ограничение по площади является существенным.

3. Применим метод Лагранжа для нахождения оптимального решения задачи. Введем фиктивный склад, площадь которого равна разности требуемой и имеющейся площадей:

Будем считать неизвестными. Через λ обозначим стоимость хранения продукции на единице дополнительной площади. Тогда общие затраты функционирования системы будут равны

Чтобы найти минимальное значение этой функции, найдем частные производные по , λ и приравняем их к нулю. Получим следующую систему уравнений:

Подставим в систему значения , , , из таблицы. Тогда система запишется в виде

Если подставить выражения для в последнее уравнение, то получится уравнение от λ:

Такая система точными методами не решается, только приближенными.

4. Для нахождения оптимального значения l можно использовать, например, метод половинного деления отрезка.

Подбор значения l и вычисление соответствующих значений можно оформить в таблицу, в последнем столбце которой вычисляется значение левой части последнего уравнения системы:

λ

Подбор значений начинаем с l = 0. Подставляя l = 0 в предыдущую систему, получаем значения, совпадающие с теми, которые получились без ограничений на площадь:

λ
				116, 9

Далее увеличиваем l на единицу до тех пор, пока в последнем столбце не получится отрицательное значение (промежуточные вычисления можно округлять до тысячных, 9о использовать тся в видебуется для хранения всей продукции:

ичения на площадь):

).

λ
				116, 9
	134, 164	43, 916	58, 195	43, 535
	102, 469	36, 742	46, 997	21, 056
	86, 092	32, 225	40, 481	8, 906
	75, 679	29, 047	36, 091	0, 99
	68, 313	26, 656	32, 876	-4, 696

Поскольку на отрезке [4; 5] получились значения разных знаков, то искомое значение λ находится на этом отрезке. Следующим значением λ является середина этого отрезка: .

λ
				116, 9
	134, 164	43, 916	58, 195	43, 535
	102, 469	36, 742	46, 997	21, 056
	86, 092	32, 225	40, 481	8, 906
	75, 679	29, 047	36, 091	0, 99
	68, 313	26, 656	32, 876	-4, 696
4, 5	71, 714	27, 775	34, 371	-2, 062

Изобразим геометрически отрезок [4; 5] и отметим знаки:

+ - -

4 4, 5 5

Из двух полученных отрезков выбираем тот, у которого на концах стоят знаки + и – (т.е. отрезок [4; 4, 5]). Находим его середину – это будет следующее значение λ.

λ
				116, 9
	134, 164	43, 916	58, 195	43, 535
	102, 469	36, 742	46, 997	21, 056
	86, 092	32, 225	40, 481	8, 906
	75, 679	29, 047	36, 091	0, 99
	68, 313	26, 656	32, 876	-4, 696
4, 5	71, 714	27, 775	34, 371	-2, 062
4, 25	73, 616	28, 389	35, 200	-0, 595

+ - -

4 4, 25 4, 5

Снова выбираем отрезок с разными знаками и находим его середину. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока в последнем столбце не получим значение, по модулю не превосходящее заданную точность.

Полная таблица для задачи имеет вид:

λ
				116, 9
	134, 164	43, 916	58, 195	43, 535
	102, 469	36, 742	46, 997	21, 056
	86, 092	32, 225	40, 481	8, 906
	75, 679	29, 047	36, 091	0, 99
	68, 313	26, 656	32, 876	-4, 696
4, 5	71, 714	27, 775	34, 371	-2, 062
4, 25	73, 616	28, 389	35, 200	-0, 595
4, 125	74, 626	28, 713	35, 637	0, 182

Так как последняя разность по модулю не превышает заданную точность (0, 2 м²), то оптимальное решение найдено. Округлим полученные значения до целых:

= 4, 125, ≈ 75, ≈ 29, ≈ 36.

Минимальные затраты составят

≈ 326 (ден. ед.)

Ответ: ≈ 75 ед., ≈ 29 ед., ≈ 36 ед., 326 ден. ед.