Нелинейные САУ

9.1. Понятие нелинейных САУ и методы их исследования

К нелинейным САУ относят такие, в которых связь между входным и выходным сигналами одного или нескольких элементов задаётся нелинейными уравнениями. В общем случае любая САУ является нелинейной вследствие наличия в ней различного рода люфтов, трения, гистерезиса и т.п., т. е. таких явлений, которые не могут быть математически описаны линейными дифференциальными уравнениями. Если влияние данных явлений несущественно, тогда, как было показано в п. 2.2, исходное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее динамику САУ, можно линеаризовать. Однако на практике приходится иметь дело с САУ, имеющими существенные нелинейные характеристики, которые влияют на динамические свойства САУ в целом.

В нелинейных САУ протекают процессы, нехарактерные для линейных САУ. Как следствие, исследование этих процессов требует особого подхода. Например, к нелинейным САУ неприменим метод наложения, дающий возможность определить процессы в САУ, происходящие под воздействием отдельных возмущений. Понятие устойчивости для нелинейных систем расширяется и усложняется – одна и та же нелинейная система в зависимости от вида и параметров возмущения может быть устойчивой либо неустойчивой.

Нелинейные САУ предполагают наличие в них одного или нескольких нелинейных элементов (звеньев), под которым принято понимать следующее.

Нелинейный элемент (звено) – устройство, у которого статические характеристики в рабочем диапазоне существенно нелинейны. Характеристики большинства нелинейных элементов, с которыми приходится иметь дело на практике, можно разделить на две группы: 1) нелинейные однозначные характеристики; 2) нелинейные неоднозначные характеристики. Виды данных характеристик представлены в табл. 9.1.

Как правило, любая нелинейная САУ может быть представлена следующей структурной схемой (рис. 9.1). Для аналитического описания САУ необходимо знать характеристику связи между входом и выходом нелинейного звена. Данная характеристика может быть задана в виде аналитической, графоаналитической или чисто графической зависимости.

Рис. 9.1. Структурная схема нелинейной САУ

Наличие нелинейных зависимостей в САУ требует применения для их описания нелинейных дифференциальных уравнений, порядок которых может быть достаточно высок. Большинство таких уравнений в общем виде не решается. Поэтому при исследовании нелинейных систем большую роль играют различного рода приближённые методы, которые позволяют ответить на ряд вопросов, среди которых вопросы устойчивости САУ, наличия в них автоколебаний и т.п.

Наиболее существенными из существующих методов исследования нелинейных САУ могут быть выделены следующие [6]:

1) фазовый метод;

2) частотно-амплитудный метод;

3) графоаналитический метод.

Ниже будет рассмотрен фазовый метод исследования нелинейных САУ.

Таблица 9.1

Типовые характеристики нелинейных элементов

Вид нелинейности	Название нелинейности	Связь между входом и выходом
Однозначные характеристики
	Нечувстви- тельность
	Ограничение (насыщение)
	Релейная обычная
Неоднозначные характеристики
	Зазор (гистерезис)
	Релейная с гистерезисом

Рис. 9.2. Фазовое пространство: М – изображающая точка САУ

9.2. Фазовый метод исследования нелинейных САУ

Фазовый метод предполагает использование понятия фазового пространства, под которым понимается многомерное пространство, по координатным осям которого откладываются значение какой-либо переменной, скорости её изменения и ускорений соответствующих порядков. Обычно в роли такой переменной выступает отклонение регулируемой величины . Состояние САУ при этом может рассматриваться как некоторая точка в фазовой плоскости, которую принято называть изображающей точкой (рис. 9.2). При изменении состояния САУ меняется и положение изображающей точки в фазовом пространстве. Траектория перемещения изображающей точки называется фазовой траекторией.

Располагая фазовыми траекториями, построенными тем или иным путём, можно судить о характере переходного процесса в нелинейной системе. В табл. 9.2. приведены примеры фазовых пространств и соответствующие им переходные процессы для нелинейных САУ, по характеру которых можно судить о качестве САУ в целом.

Таблица 9.2

Примеры фазовых пространств и соответствующих им переходных процессов

№	Изображение переходного процесса на фазовом пространстве	Характер переходного процесса
		Затухающий колебательный переходный процесс
		Расходящийся колебательный переходный процесс

Окончание табл. 9.2

Незатухающий колебательный переходный процесс