Частотные характеристики САУ

4.1. Типовые возмущающие функции в САУ

Как было показано ранее, выходное воздействие САУ y(t) определяется как свойствами рассматриваемой САУ, так и возмущающими воздействиями, поступающими на вход системы. В теории автоматического управления существует ряд типовых входных воздействий (табл. 4.1), подавая которые на вход САУ, получают типовой переходный процесс. По виду переходного процесса затем оценивают качество системы.

Таблица 4.1

Типовые входные воздействия,

применяемые для исследования качества САУ

№ пп	Типовое воздействие	Формула типового воздействия	Графики типового воздействия и переходного процесса на выходе САУ
	Ступенчатая функция
	Дельта–функция
	Гармоническая функция

В том случае, когда для формирования типового переходного процесса используются дельта- или ступенчатая функции, получаемый на выходе САУ переходный процесс y(t) называется временной характеристикой системы. В этом случае с течением времени функция y(t) стремится к некоторому постоянному значению. Если на вход САУ подаётся гармоническая функция , на выходе САУ, после завершения переходного процесса, будет наблюдаться гармонический сигнал . Амплитуда и фаза данного гармонического сигнала при прочих равных условиях будут зависеть от частоты возмущающего воздействия . Таким образом, и являются функциями частоты , с помощью которых можно судить как о динамических свойствах всей САУ, так и о свойствах отдельных её элементов.

4.2. Комплексная частотная характеристика системы

Рассмотрим линейную САУ, которая описывается дифференциальным уравнением (2.1):

. (4.1)

Предположим, что на вход системы подается гармонический сигнал , который в символической форме может быть представлен как

. (4.2)

На выходе САУ будет наблюдаться тоже гармонический сигнал , запись которого в символической форме имеет вид

. (4.3)

ческой форме может быть представлен как гармонический сигнал равнениПодставляя (4.2) и (4.3) в (4.1), получаем

=

(4.4)

После несложных математических преобразований выражение (4.4) может быть записано как

= , (4.5)

или

. (4.6)

Полученное соотношение называется комплексной передаточной функцией САУ. Оно отражает преобразование САУ амплитуды входного сигнала X_m в амплитуду выходного сигнала Y_m и показывает, какой при этом фазовый сдвиг j выходного сигнала y(t) будет наблюдаться.

Комплексная передаточная функция (4.6) может быть легко получена из передаточной функции САУ (3.5) путём формальной замены p=jw.

При любых значениях w комплексная передаточная функция W(jw) будет представлять собой комплексное число, которое в общем виде представляет собой геометрическую сумму вещественной Re(w) и мнимой Im(w) составляющих:

, (4.7)

или, используя преобразование Эйлера:

, (4.8)

где – амплитудная характеристика системы, определяющая величину амплитуды выходного сигнала при известном значении w:

; (4.9)

– фазовая характеристика системы, определяющая величину фазового сдвига выходного сигнала системы при известном значении w:

. (4.10)

Рис. 4.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика САУ (АФЧХ)

Представляя как вектор, характеризующий установившееся движение системы при периодическом возмущении с частотой w, и изменяя w от 0 до µ, можно увидеть, что конец вектора прочерчивает на комплексной плоскости кривую, называемую годографом вектора комплексной частотной характеристики. Данная кривая также носит название амплитудно-фазовой частотной характеристикой САУ (рис. 4.1).

Широкое практическое применение находят амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. 4.2 а). В ряде случаев частотные характеристики САУ могут представляться графиками в логарифмическом масштабе. В этом случае они называются соответственно логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) (рис. 4.2 б).

а)	б)
Рис. 4.2. Частотные характеристики САУ: а) амплитудная и фазовая частотные характеристики САУ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ

При построении логарифмических характеристик частота по оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе в октавах или декадах.

Октавой называется частотный интервал, соответствующий удвоению частоты.

Декадой называется частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз. В одной декаде содержатся 3, 32 октавы. Декадный частотный интервал применяется чаще.

По оси ординат фаза откладывается в угловых градусах или в радианах. По оси ординат ЛАЧХ принимается величина в децибелах, определяемая как

. (4.11)

ЛАЧХ и ЛФЧХ принято изображать на одном графике в форме, представленной на рис. 4.2 б. Ось абсцисс является общей для обоих характеристик, оси ординат разные. При этом положительным направлением для оси является направление вниз, а пересечение данной оси с осью абсцисс соответствует –180⁰.

Пример 1. Построить АФЧХ САУ, которая имеет следующую передаточную функцию:

, (4.12)

где k – коэффициент усиления системы, равный 35; T₁, T₂ – постоянные времени, соответственно равные 0, 15 и 0, 04.

Заменим в выражении (4.12) p на jw, подставив численные значения входящих в данное выражение коэффициентов, получаем комплексную частотную характеристику САУ:

. (4.13)

Выполнив несложные математические преобразования, выделяем в (4.13) действительную и мнимую части:

, (4.14)

где

, (4.15)

. (4.16)

Изменяя значения w в интервале от 0 до ¥ и подставляя их в (4.15), (4.16), получаем соответствующие значения действительной и мнимой частей АФЧХ при текущем значении w. Результаты расчётов помещаем в таблицу. Используя данные табл. 4.2, выполняем построение АФЧХ САУ на комплексной плоскости (рис. 4.3).

Таблица 4.2 Исходные данные для построения АФЧХ САУ с передаточной функцией (4.12)   w         Re(w) –4, 10 –1, 77 –0, 81 –0, 41 Im(w) –3, 67 –0, 37 0, 10 0, 15
Рис. 4.3. АФЧХ САУ с передаточной функцией (4.12)

Пример 2. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ, передаточная функция которой имеет вид

. (4.17)

Константы, входящие в передаточную функцию, будут иметь следующие значения: k =200; T₁ =0, 5; T₂ =0, 25; T₃ =5; T₄ =1; T₅ =0, 1; T₆ =0, 05.

ЛАЧХ и ЛФЧХ изображаются на одном графике в форме, представленной на рис. 4.2.б. ЛАЧХ определяется соотношением (4.11)

, (4.18)

где A(w) – амплитудная частотная характеристика рассматриваемой САУ. ЛФЧХ строится с использованием зависимости j(w). Функции A(w) и j(w) могут быть получены из передаточной функции рассматриваемой САУ. Для этого необходимо в выражении (4.17) произвести замену p на jw, после чего каждый множитель, входящий в него, будет представлять собой комплексное число и функция (4.17) примет вид

, (4.19)

или

, (4.20)

где

, (4.21)

. (4.22)

В выражениях (4.21), (4.22) A₀(w) и j₀(w) определяются как

, (4.23)

. (4.24)

A_i(w), j_i(w) при i=1, …, 6 определяются следующим образом:

, (4.25)

. (4.26)

Учитывая всё вышесказанное и подставляя заданные значения коэффициентов, находим выражение для ЛАЧХ и ЛФЧХ рассматриваемой САУ:

, (4.27)

. (4.28)

Для построения по (4.27), (4.28) ЛАЧХ и ЛФЧХ изменяем значение w в интервале от 0 до ¥ и, подставляя их в (4.27) и (4.28), получаем соответственно значения для L(w) и j(w) при текущем значении частоты w. Результаты расчётов помещаем в табл. 4.3. Используя данные табл. 4.3, выполняем построение ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ (рис. 4.4).

Таблица 4.3

Исходные данные для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ с передаточной функцией (4.17)

Рис. 4.4. ЛАЧХ и ЛФЧХ для САУ с передаточной функцией (4.17)