Производная функции.

Пусть функция определена в некотором интервале (а; b). Возьмём произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента х в точке и обозначают D х:

.

Разность называется приращением функции в точке и обозначается D у: или .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю.

Обозначается: или .

По определению

.

Функция в этом случае называется дифференцируемой в точке .

Перечислим основные свойства производной.

Пусть и – дифференцируемые функции, а , тогда

1. .

2. .

3. .

4. ().

Пусть и , тогда называется сложной функцией с промежуточным аргументом и независимой переменной .

Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и находится по формуле

. (2.1)

Таблица производных.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Если зависимость между аргументом и функцией задана параметрически, т.е. в виде , то производная находится по формуле

. (2.2)

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка от функции и обозначается или . Таким образом

. (2.3)

Производной -го порядка называется производная от производной -го порядка и определяется формулой

. (2.4)

Если функция задана параметрически, т.е. , то справедлива формула

. (2.5)