Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Производная функции.
|
|
Пусть функция 
определена в некотором интервале (а; b). Возьмём произвольную точку 
. Для любого 
разность 
называется приращением аргумента х в точке 
и обозначают D х:
.
Разность 
называется приращением функции 
в точке и обозначается D у: 
или 
.
Производной функции в точке 
называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю.
Обозначается: 
или 
.
По определению
.
Функция в этом случае называется дифференцируемой в точке .
Перечислим основные свойства производной.
Пусть 
и 
– дифференцируемые функции, а 
, тогда
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
(
).
Пусть 
и 
, тогда 
называется сложной функцией с промежуточным аргументом 
и независимой переменной .
Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции 
существует и находится по формуле
. (2.1)
Таблица производных.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Если зависимость между аргументом и функцией 
задана параметрически, т.е. в виде 
, то производная 
находится по формуле
. (2.2)
Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка от функции и обозначается 
или 
. Таким образом
. (2.3)
Производной 
-го порядка называется производная от производной 
-го порядка и определяется формулой
. (2.4)
Если функция задана параметрически, т.е. , то справедлива формула
. (2.5)
|
|