Расчет импульсной характеристики и выбор функции окна

Фильтр на ПАВ как любую пассивную систему можно определенным образом описать в частотной и временной областях. Требования к большинству типов фильтров ПАВ задаются в частотной области, поэтому на практике обычно оперируют с частотными характеристиками. Функцией, описывающей фильтр на ПАВ в частотной области, является передаточная функция H(jω), представляющая собой отношение напряжения U_вых на выходе к напряжению U_вх на его входе. В общем случае передаточная функция H(jω) фильтра может быть представлена в виде отношения двух комплексных полиномов. Поэтому она является комплексной и состоит из действительной R(jω) и мнимой J(jω) частей и может быть представлена в виде

. (1.1)

Частоты на комплексной плоскости, на которых H(jω) обращается в нуль, называются нулями этой функции. Вынужденное колебание u_вых = U_вых cos(ω t+j(ω)) на выходе фильтра,

вызываемое гармоническим воздействием u_вх = U_вх cos(ω t) представляет также гармоническую функцию времени, имеющую ту же угловую частоту, что и воздействие, но отличающуюся от него по амплитуде и фазе. Функции H(ω) и φ (ω), представляющие изменение амплитуды и фазы выходного сигнала u_вых относительно входного воздействия u_вх в зависимости от частоты, называются соответственно амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотными характеристиками фильтра. Как следует из формулы (1.1), АЧХ является модулем, а ФЧХ – аргументом передаточной функции фильтра. Для неискаженной передачи закона модуляции сигнала через полосовой фильтр необходимо, чтобы ФЧХ была линейна в пределах полосы пропускания фильтра 2Δ f = 2 Δ ω / 2π =2(ω - ω ₀ . )/ 2π и поэтому

, (1.2)

где - постоянная величина, равная тангенсу угла наклона ФЧХ и определящая, отрезок времени на который выходной сигнал опаздывает по отношению к входному, θ (0) – начальная фаза, не влияющая на неискаженную передачу закона модуляции, а ее изменение приводит лишь к изменению фазы несущей частоты ω ₀ . относительно неискаженной огибающей колебания.

Поэтому любую линейную ФЧХ можно без искажения закона модуляции преобразовать в нулевую. Величину отклонений ФЧХ о т линейной можно охарактеризовать кривой фазовых искажений Δ , которая получается в фильтре вычитанием касательной в точке ω ₀ , соответствующей середины полосы пропускания

). (1.3)

Идеальной называют ФЧХ, линейную в пределах полосы пропускания фильтра, для нее . Групповым временем запаздывания (ГВЗ) называют отрезок времени, необходимый для прохождения через фильтр пучности биений двух близких частот ω и ω + dω. Он характеризует время распространения огибающей сигнала и равный производной ФЧХ по частоте

. (1.4)

В фильтрах на ПАВ постоянство ГВЗ является условием неискаженной передачи модуляции огибающей сигнала. Важными частотными характеристиками фильтра в различных режимах нагрузки являются его входное и выходное сопротивления. Входное сопротивление равно

, (1.5)

а выходное сопротивление определяется выражением

. (1.6)

При этом им отвечают обратные проводимости

, (1.7)

. (1.8)

Таким образом, входные и выходные проводимости определяются токами и напряжениями на входе и выходе фильтра. Функции определенными соотношениями

, (1.9)

, (1.10)

, (1.11)

. (1.12)

Любая из действительных функций , , и может быть представлена в виде суммы слагаемых, обладающих четной и нечетной симметрией относительно какой-либо средней частоты ω _ср, принятой за начало отчета. Так для полосового фильтра

, (1.13)

где ω ₁₌ ω - ω _ср – расстройка относительно ω _ср. При этом четная часть равна полусумме

, (1.14)

а нечетная часть - полуразности

, (1.15)

прямой и зеркальной относительно начала отчета функций.

В фильтрах на ПАВ сигнал на входе u_вх (t) и сигнал на выходе u_вых (t) представлены непрерывными функциями времени, связанными между собой интегралом свертки

. (1.16)

Если вместо u_вх (t) подставить в уравнение единичную импульсную функцию δ (t), то выполняя интегрирование, получим u_вых (t)=h(t). Эта функция называется импульсной характеристикой и с помощью интеграла свертки полностью определяет реакцию фильтра на любое воздействие при нулевых начальных условиях. Импульсная характеристика h(t) определяется только свойствами фильтра и связана с передаточной функцией H(jω) обратным преобразованием Фурье

, (1.17)

а передаточная функция определяется прямым преобразованием Фурье

. (1.18)

Из выражений (1.16-1.18) следует, что передаточная функция H(jω) и импульсная характеристика h(t) связаны преобразованиями Фурье. Поэтому задание одной достаточно для определения другой. Следует учесть, что частота f связана с круговой частотой ω =2π f.