Задача 9.

9.1. Сіткою довжиною 120 потрібно обгородити прямокутну ділянку найбільшої площі. Визначити розміри ділянки.

9.2. Розкласти число 10 на два доданки так, щоб їхній добуток був найбільшим.

9.3. У трикутник з основою і висотою h вписано прямокутник найбільшої площі (одна із сторін прямокутника належить основі). Визначити площу прямокутника.

9.4. З квадратного листка картону зі стороною вирізають по кутах однакові квадрати, а з частини, що залишилась, склеюють прямокутну коробку. Якою повинна бути сторона вирізаного квадрата, щоб об’єм коробки був найбільшим?

9.5. Визначити розміри відкритого басейну з квадратним дном об’єму 32 так, щоб на облицювання його стін і дна пішла найменша кількість матеріалу.

9.6. Бічні сторони і менша основа трапеції рівні по 10 . Визначити її більшу основу так, щоб площа трапеції була найбільшою.

9.7. У півкруг вписано трапецію, основою якої є діаметр круга. Визначити кут трапеції при основі так, щоб площа трапеції була найбільша.

9.8. Переріз тунелю має форму прямокутника, завершеного півкругом. Периметр перерізу 18 . При якому радіусі півкруга площа перерізу буде найбільшою?

9.9. Поблизу заводу А прокладається по прямій до міста В залізнична колія. Під яким кутом до залізничної колії потрібно провести шосе з заводу А, щоб перевезення вантажів з А до В було найдешевшим, якщо вартість перевезення однієї тони на кілометр по шосе в m раз дорожча, ніж по залізниці?

9.10. Два джерела світла розміщені на відстані 30 м один від одного. На прямій, що з’єднує їх, знайти найменш освітлену точку, якщо сили освітлення джерел, відносяться як 27: 8.

9.11. Два літаки летять в одній площині і прямолінійно під кутом з однаковою швидкістю км/год. У деякий момент один літак прийшов у точку перетину ліній руху, а другий не долетів до неї на км. Через який час відстань між літаками буде найменшою і чому вона дорівнюватиме?

9.12. Знайти сторони трикутника найбільшої площі, вписаного в еліпс .

9.13. Знайти бічну сторону рівнобедреної трапеції, яка при заданій площі S і куті при основі , буде мати найменший периметр.

9.14. У конус з радіусом основи 4 дм висотою 6 дм вписано циліндр найбільшого об’єму. Знайти цей об’єм.

9.15. У півкруг радіуса R вписано прямокутник найбільшої площі. Знайти його розміри.

9.16. На параболі знайти точку найменш віддалену від прямої .

9.17. Картина повішена на стіні. Нижній її кінець на b см, а верхній на см вище ока спостерігача. На якій відстані від стіни повинен стати спостерігач, щоб розглядати картину під найбільшим кутом?

9.18. У прямокутний трикутник з гіпотенузою 8 см і кутом вписано прямокутник, основа якого розміщена на гіпотенузі. Які повинні бути розміри прямокутника, щоб його площа була найбільшою?

9.19. Задано точки А(0; 3) і В (4; 5). На осі знайти точку М таку, щоб сума відстаней від заданих точок до шуканої була найменшою.

9.20. Опір балки поздовжньому стисканню пропорційний площі поперечного перерізу. Визначити розміри балки, вирізаної з круглого дерева діаметром D так, щоб опір її стисканню був найбільшим.

9.21. З круга вирізається сектор, що містить кут , а потім сектор згортається в конус. При якому значенні кута об’єм конуса буде найбільшим?

9.22. Знайти висоту прямого циліндра з найбільшим об’ємом, який може бути вписаний у сферу радіусом R.

9.23. Знайти катети прямокутного трикутника з найбільшою площею, якщо довжина гіпотенузи дорівнює с.

9.24. Знайти висоту прямого конуса з найменшим об’ємом, описаного навколо сфери радіуса R.

9.25. Поліно довжиною 20 м має форму зрізаного конуса, діаметри основ дорівнюють 2 м і 1 м відповідно. Необхідно виготовити з поліна балку з квадратним поперечним перерізом, вісь якої співпадала б з віссю поліна, а об’єм якої був би найбільшим. Якими будуть розміри балки?

9.26. Покрівельник бажає зробити відкритий жолоб найбільшої місткості, у якому дно і боки повинні мати ширину 10 см і боки повинні бути однаково нахилені до дна. Яка повинна бути ширина жолоба зверху?

9.27. Два коридори шириною 2, 4 м і 1, 6 м перетинаються під прямим кутом. Визначити найбільшу довжину драбини, яку можна перенести (горизонтально) з другого коридору в інший.

9.28. В сегментпараболи , що відтинається прямою , вписати прямокутник з найбільшою площею.

9.29. Описати навколо даного циліндра з радіусом основи r прямий конус найменшого об’єму, враховуючи, що площини і центри кругових основ циліндра і конуса співпадають. Знайти радіус основи конуса.

9.30. Кусок проводу заданої довжини зігнути у вигляді прямокутника так, щоб площа останнього була найбільшою.