Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Переход к новому базису
Координаты вектора зависят от выбора базиса. Выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении координат вектора в одном базисе по его координатам в другом базисе. Выясним, как устанавливается связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах. Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов (i =1, 2, 3) нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса: . Матрица (i, k =1, 2, 3) называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Базисные векторы (i =1, 2, 3) линейно независимы, поэтому матрица неособенная. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы . Найдем зависимость между координатами некоторого вектора в разных базисах. Пусть этот вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. и Подставив значения из предыдущей системы в первое равенство для вектора и учитывая второе равенство, получим систему уравнений: Как нетрудно заметить, матрицей перехода от новых к старым координатам будет транспонированная матрица . В матричном виде взаимосвязь между старыми координатами и новыми выражается следующими равенствами: и . Пример. В базисе заданы векторы и вектор . Показать, что векторы (i =1, 2, 3) образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе. Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство или Задача сводится к решению системы: Определитель системы не равен нулю. Следовательно, однородная система имеет только нулевое решение , значит векторы линейно независимы и образуют базис. Связь между старым базисом и новым выражается системой уравнений: Матрица перехода от старого базиса к новому имеет вид Вычисляем . Она имеет вид Находим транспонированную матрицу Координаты в новом базисе находим из равенства Новые координаты вектора в базисе есть (9/6, 5/6, 1/6) и вектор может быть представлен в виде:
|