Линейные операции над векторами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Брянский государственный технический университет

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

____________ О.Н. Федонин

«» ____________ 2014 г.

Геометрия и топология

Задачи к практическим занятиям для студентов I курса

очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»

Брянск 2014

УДК 511

Геометрия и топология [Текст]+[Электронный вариант]: задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». − Брянск: БГТУ, 2014. − 38с.

Разработали: В.М. Кобзев, ст. преп.

Н.В. Сычева, канд. пед. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой Высшая математика БГТУ

(протокол №10 от 4.06.14)

Линейные операции над векторами

1.1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы и (рис. 1). Выразить через и векторы , если ОА =3 и ОВ =4. 1.2. Пусть на рис. 1 М – середина ВС и N – середина АС. Определить векторы при ОА =3 и ОВ =4.

1.3. На трех компланарных векторах , и построен параллелепипед. Указать те вектор-диагонали, которые соответственно равны , , , и .

1.4. медианы треугольника АВС. Доказать равенство =0.

1.5. медианы треугольника АВС. Выразить через = и = векторы .

Ответ: ; ; = .

1.6. В параллелограмме ABCD обозначены: = , = . Выразить через и векторы , где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Ответ: ; ; ; .

1.7. В треугольнике АВС . Полагая, = , = , выразить через векторы и .

Ответ: ; .

1.8. ABCDEF – правильный шестиугольник, причем = , = . Выразить через и векторы

Ответ: ; .

1.9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Доказать равенство .

1.10. В пространстве заданы треугольники АВС и A'B'C'; M и M' –точки пересечения их медиан. Выразить вектор через векторы и .

Ответ: ).

1.11. Точки Е и F – середины сторон AD и BC четырехугольника АВСD. Доказать, что . Ввести отсюда теорему о средней линии трапеции.

1.12. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно l. Полагая = , = , выразить через и векторы

Ответ: .

1.13. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА =60˚, ОВ=ВС=СА =2, М и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и – единичные векторы направлений и

Ответ: , , , .

1.14. На стороне [ AD ] параллелограмма АВСD отложен вектор длины | |=1/5| |, а на диагонали [ AC ] – вектор длины | |=1/6| |. Доказать, что векторы коллинеарны и найти l такое, что .

Ответ: l=5.

1.15. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам: , , .

Ответ: s= .

1.16. Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: , , , .

Ответ: 3 p -4 q -3 r -2 s =0.

1.17. Даны четыре вектора . Вычислить их сумму, если известно, что , и векторы некомпланарны.

Ответ: 0.

1.18. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы , , компланарны.

1.19. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения l, при которых векторы , , компланарны.

Ответ: 1, -2.

1.20. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения l и µ, при которых векторы и коллинеарны.

Ответ: l=µ=1.