Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






    • Плоскость и прямая в пространстве


    ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 11Следующая ⇒




    7.1. Построить плоскости: 1) 5 х -2 у +3 z- 10=0; 2) 3 х +2 у - z =0; 3) 3 х +2 z= 6; 4) 2 z -7 = 0.

    7.2. Заданы плоскость Р и точка М. Написать уравнение плоскости P', проходящей через точку М параллельно плоскости Р, и вычислить расстояние r(P, P'), если:

    а) Р: -2 х + у - z +1=0, М (1; 1; 1);

    б) Р: х - у -1=0, М (1; 1; 2).

    Ответ: а) 2 х-у+z- 2=0; 1/ ; б) х-у =0, плоскость параллельна оси Оz и проходит через начало координат; 1/ .

    7.3. Найти плоскость, проходящую через точку (2; 2; -2) и параллельную плоскости х -2 у -3 z =0.

    Ответ: х -2 у -3 z =4.

    7.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (-2; 7; 3) параллельно плоскости х -4 у +5 z +1=0.

    Ответ: х -4 у +5 z +15=0.

    7.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2; 3; -4) параллельно плоскости YOZ.

    Ответ: х -2=0.

    7.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (-2; 1; 4) параллельно плоскости 3 х+ 2 у -7 z +8=0.

    Ответ: 3 х+ 2 у -7 z +32=0.

    7.7. Написать уравнение плоскости P', проходящей через заданные точки М1 и М2 перпендикулярно заданной плоскости Р, если:

    а) Р: - х + у -1=0, М1 (1; 2; 0), М2 (2; 1; 1);

    б) Р: 2 х - у + z +1=0, М1 (0; 1; 1), М2 (2; 0; 1).

    Ответ: а) х+у- 3=0; б) х+ 2 у -2=0.

    7.8. Даны точки М1 (0; -1; 3) и М2 (1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной к вектору = .

    Ответ: х +4 у -2 z =2.

    7.9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1; 2; 3) перпендикулярно вектору .

    Ответ: х -2 у -3 z +14=0.

    7.10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (-1; -1; 2) и перпендикулярной к плоскостям х -2 у + z -4=0 и x+ 2 у- 2 z+ 4=0.

    Ответ: 2 х +3 у +4 z =3.

    7.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (2; 3; -1), М2 (1; 5; 3) перпендикулярно плоскости 3 х - у +3 z +15=0.

    Ответ: 2 х +3 у - z -14=0.

    Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
    Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
    Что умеет делать SeoHammer
    — Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
    — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
    — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
    — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
    SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
    Зарегистрироваться и Начать продвижение

    7.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 1; -1) и перпендикулярной к плоскостям 2 х - у +5 z+ 3=0 и х +3 у - z -7=0

    Ответ: 2 х-у-z -2=0.

    7.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0; 0; а) и перпендикулярной к плоскостям х - у - z =0 и 2 у=х.

    Ответ: 2 х + у + z = а.

    7.14. Даны точки М1 (0; -1; 3), М2 (1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .

    Ответ: х+ 4 у +2 z -2=0.

    7.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0; -5; 0) и (0; 0; 2) перпендикулярно плоскости х+ 5 у +2 z -10=0.

    Ответ: 2 у -5 z +10=0.

    7.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2 х+ 3 у -2 z -4=0, 3 х+ 5 у + z =0.

    Ответ: 13 х- 8 у + z +44=0.

    7.17. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам и , если:

    а) М (1; 1; 1), (0; 1; 2), (-1; 0; 1);

    б) М (0; 1; 2), (2; 0; 1), (1; 1; 0).

    Ответ: а) х- 2 у-z =0; б) - х+у +2 z -5=0.

    7.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2; -3; 1) параллельно векторам .

    Ответ: х + у - z +2=0.

    7.19. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2, параллельно вектору , если:

    а) М1 (1; 2; 0), М2 (2; 1; 1), (3; 0; 1);

    б) М1 (1; 1; 1), М2 (2; 3; -1), (0; -1; 2).

    Ответ: а) – х+ 2 у- 3 z- 3=0; б) 2 х- 2 у - z +1=0.

    7.20. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М1, М2 и М3, если:

    а) М1 (1; 2; 0), М2 (2; 1; 1), М3 (3; 0; 1);

    б) М1 (1; 1; 1), М2 (0; -1; 2), М3 (2; 3; -1).

    Ответ: а) х+у- 3=0; б) 2 х-у -1=0.

    7.21. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (1; -1; 2), М2 (2; 1; 2) и М3 (1; 1; 4).

    Ответ: 2 х - у + z =5.

    7.22. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (3; -1; 2), М2 (4; -1; -1), М3 (2; 0; 2).

    Ответ: 3 х +3 у + z -8=0.

    7.23. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (1; -1; 0), М2 (2; 1; -3), М3 (-1; 0; 1).

    Ответ: х + у + z =0.

    В задачах 7.24-7.27. исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом в случае, если плоскости параллельны, то найти расстояние r(P1, P2) между плоскостями, а в случае, если плоскости пересекаются – косинус угла между ними.

    7.24. Р1: - х +2 у - z +1=0, Р2: у +3 z -1=0.

    Ответ: Пересекаются, cos .

    7.25. Р1: 2 х - у + z -1=0, Р2: -4 х +2 у -2 z -1=0.

    Ответ: параллельны, r(Р1, Р2)= .

    7.26. Р1: х-у +1=0, Р2: у-z +1=0.

    Ответ: Пересекаются, cos .

    7.27. Р1: 2 х - у - z +1=0, Р2: -4 х+ 2 у +2 z -2=0.

    Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
    — Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
    — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
    — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
    — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
    — Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
    — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
    — Включает в себя сервис чаевых.

    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Зарегистрироваться в сервисе

    Ответ: Совпадают.

    7.28. Найти расстояние от точки (5; 1; -1) до плоскости x- 2 у- 2 z+ 4=0.

    Ответ: 3.

    7.29. Найти расстояние от точки (4; 3; 0) до плоскости, проходящей через точки М1 (1; 3; 0), М2 (4; -1; 2) и М3 (3; 0; 1).

    Ответ:

    7.30. Найти расстояние от точки М1 (2; -1; -1) до плоскости 16 х- 12 у +15 z -4=0.

    Ответ: 1.

    7.31. Найти расстояние от точки М0(1; 3; -2) до плоскости 2 х- 3 у -4 z +12=0.

    Ответ: .

    7.32. Найти угол между плоскостями:

    1) х -2 у +2 z -8=0 и x+z- 6=0; 2) х +2 z -6=0 и x+ 2 y- 4=0.

    Ответ: 1) 45˚; 2) .

    7.33. Найти угол между плоскостями х + у -1=0 и 2 х - у + z +1=0.

    Ответ: .

    7.34. Найти угол между плоскостями х+ 2 у -3 z +4=0, 2 х+ 3 у + z +8=0.

    Ответ: .

    7.35. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1; 7; -5) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

    Ответ: x+y+z -3=0.

    7.36. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 (-4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки а =4 и b =3.

    Ответ: .

    7.37. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью Р: 2 х -3 у +6 z -12=0 и координатными плоскостями.

    Ответ: 8.

    7.38. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0 (2; 0; -3) параллельно:

    а) вектору (2; -3; 5);

    б) прямой ;

    в) оси Ох;

    г) оси Оz;

    д) прямой

    е) прямой х =-2+ t, y =2 t, z= 1-1/2 t.

    Ответ: а) ; б) ; в) ;

    г) ; д) ; е) .

    7.39. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3; 0) и параллельной вектору {-1; 1; 1}. Найти след прямой на плоскости уОz и построить прямую.

    Ответ: .

    7.40. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А (0; -4; 0) и параллельной вектору {1; 2; 3}, найти след прямой на плоскости х О z и построить прямую.

    Ответ: .

    7.41. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0 (2; -3; -4) параллельно прямой: .

    Ответ: .

    7.42. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (-4; 3; 0) параллельно прямой .

    Ответ: .

    7.43. Написать уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2, если:

    а) М1 (1; -2; 1), М2 (3; 1; -1);

    б) М1 (3; -1; 0), М2 (1; 0; -3).

    Ответ: а) ; б) .

    7.44. Построить прямую, проходящую через точки А (2; -1; 3) и В (2; 3; 3), и написать ее уравнения.

    Ответ: х =2, z =3.

    7.45. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (2; 6; -2). Найти ее направляющие косинусы.

    Ответ:

    .

    7.46. Написать канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы и проходящей через точку М0 (-1; 0; 5).

    Ответ: .

    7.47. Найти угол между прямыми: x-y+z- 4=0, 2 x+y- 2 z +5=0 и x+y+z- 4=0, 2 x+ 3 y-z -6=0.

    Ответ:

    7.48. Найти угол между прямыми 2 x-y- 7=0, 2 x-z +5=0 и 3 x- 2 y+ 8=0, z =3 х.

    Ответ: Приведем уравнения к канонической форме: и ;

    7.49. Найти угол между прямыми:

    и .

    Ответ: p/3.

    7.50. Найти угол между прямыми и .

    Ответ: .

    7.51. Доказать, что прямые и параллельны.

    7.52. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4 х - у +2 z -3=0.

    Ответ: .

    7.53. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0 (2; 1; -1) перпендикулярно плоскости х-у+z+ 1=0.

    Ответ: .

    7.54. Определить, при каком значении l плоскость 5 х -3 у +l z +1=0 будет параллельна прямой

    Ответ: -11.

    7.55. Показать, что прямая параллельна плоскости 2 x + y-z =0, а прямая лежит в этой плоскости.

    Ответ: Для обеих прямых но точка первой (-1; -1; 3) не лежит на плоскости, а точка второй (-1; -1; -3) лежит на плоскости.

    7.56. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2; 2; -2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3 х -2 у - z +1=0 и х - у - z =0.

    Ответ: х +2 у - z -8=0.

    7.57. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М0 (1; -2; 1).

    Ответ: 2 х + у =0.

    7.58. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1; -2; 3) и прямую: .

    Ответ: 7 х +5 у -9 z +30=0.

    7.59. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3; 4; 0).

    Ответ: х -2 у + z +5=0.

    7.60. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3 х +3 у - z +1=0.

    Ответ: 6 х -5 у +3 z -11=0.

    7.61. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2 х +3 у - z =4.

    Ответ: 8 х -5 у + z -11=0.

    7.62. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

    Ответ: x +2 y-2z =1.

    7.63. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

    Ответ: х-у-z =0.

    7.64. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .

    Ответ: 3 х -2 у -3=0.

    7.65. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые и .

    Ответ: х +2 у -2 z =1.

    7.66. Найти точку пересечения с плоскостью 2 х +3 у -2 z +2=0.

    Ответ: (3; 2; 7).

    7.67. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости х -3 у +2 z+ 1=0 с прямыми

    и .

    Ответ: .

    7.68. Найти уравнения проекции прямой на плоскость х -3 у - z +8=0.

    Ответ: .

    7.69. Найти проекцию точки (3; 1; -1) на плоскость x+ 2 y+ 3 z -30=0.

    Ответ: (5; 5; 5).

    7.70. Найти проекцию точки (3; 1; -1) на плоскость 3 x+y+z -20=0.

    Ответ: (6; 2; 0).

    7.71. Найти проекцию точки (2; 3; 4) на прямую x=y=z.

    Ответ: (3; 3; 3).

    7.72. Найти проекцию точки (1; 2; 8) на прямую .

    Ответ: (3; -1; 1).

    7.73. Найти угол прямой y= 3 x -1, 2 z=- 3 х +2 с плоскостью 2 x + y+z- 4=0.

    Ответ: .

    7.74. Найти угол между прямой и плоскостью 6 х -3 у +2 z =0.

    Ответ: .

    7.75. Заданы прямая L: и точка М (0; 1; 2)Ï L. Требуется:

    а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку М;

    б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L;

    в) написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую L;

    г) вычислить расстояние r(M, L);

    д) найти проекцию точки М на прямой L.

    Ответ: а) х- 2 у+z= 0; б) 2 х + у- 1=0; в) или ; г) 18/ ; д) M' (3/5; -1/5; -1).

    7.76. Найти расстояние между параллельными прямыми

    и .

    Ответ: 3.

    7.77. Найти расстояние от точки А (2; 3; -1) до заданной прямой L:

    а) б)

    Ответ: а) 6/ ; б) 21.

    7.78. Найти расстояние от точки М (2; -1; 3) до прямой .

    Ответ: .

    7.79. Найти расстояние от точки М (3; 0; 4) до прямой y= 2 x +1, z= 2 х.

    Ответ: А (0; 1; 0), .

    7.80. Найти расстояние между прямыми и .

    Ответ: .


    ⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒




    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.