Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!
Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Метод Крамера
|
|
Опр. М-ца размерности 
(
, 
) – это таблица, которая заполнена числами из R(действ. числа) или C(комплекс.):
, 
, 
. 
- мн-во всех м-ц разм. на поле вещ. чисел.
М-цы размерности 
называются квадратными; 
- вектор-строка; 
- вектор-столбец; 
- нулевая м-ца (все эл-ты - нули); 
- единичная м-ца.
Операции над матрицами:
1. сложение:
, 
Св-ва: коммутативно, ассоциативно, 
является нулем для сложения, 
м-ца 
обладает противоположной 
, т.е. 
.
2. умножение:
производится по правилу «строка на столбец»:
, 
, 
Част. случай: 
, 
, 
, 
.
Св-ва: 
(ассоц.); 
, - размер. ; 
, 
; 
, 
.
3. умножение на скаляр:
, 
, 
Св-ва: 
; 
; 
; 
.
4. транспонирование:
, 
, 
, 
Св-ва: 
; 
; 
.
, 
. Определитель м-цы A обозначается 
, 
или 
.
Пр-ры: n=1: 
- число; n=2: 
и т.д. Опр-ль м-цы A = сумме своих членов. Член опр-ля -произв. эл-в м-цы A, взятых по 1-му из кажд. стр. и кажд. столб. со зн. + или -. Пусть из 1-й стр. в член опр-ля взят эл-т 
, из второй - 
и т.д. Из опр-я члена опр-ля 
- перест. 
. И наоборот, кажд. перест. дает член опр-ля. 
, где 
- кол-во инверсий в этой перест. И: Опр. 
.
Основные св-ва определителей: (все написанное ниже верно и для столбцов)
Th. 1 (вынес-е общ. множ. из строки). Пусть B получена из A умножением всех эл-в какой-либо (одной) строки на число 
, то 
.
Д-во: 
/т.к. , 
при 
/ 
.
Th. 2 (расщепл. по стр.). Пусть i-я стр. м-цы A имеет вид: 
, 
,..., 
. Тогда 
, где B получ. из A зам-й ее i стр. на стр. 
, а C – зам-й i стр. на стр. 
. (Верно и для случ. > 2-х слаг-х).
Д-во: 
при , 
/раскр. скобки и груп./ 
.
Th. 3 Если в A две строки пропорциональны, то 
.
Д-во: Пусть проп. i и k стр. м-цы A, т.е. 
, 
. Достат. д-ть, что , если в A две =-е стр., т.к. по Th «вынесение общего множит. за скобки»:
.
Идея док-ва: 
, (i< k). Из усл. Th члены опр-ля расп-ся на пары взаим. обр-х вида: 
.
, т.к. 
, 
.
Th. 4 М-ца B получ. из A прим-м элем. пр-я (к i стр. + k, *-я на ч. 
), тогда 
. Д-во: 
=/Th «расщ-е по стр.»/= 
=/Пред. Th/ = 
.
Th. 5 Опр-ль м-цы меняет знак при перест. 2-х строк.
Д-во: 
.
Th. 6 Опр-ль трансп. м-цы = опр-лю исх. м-цы: 
. (, что все св-ва опр-й, полученные выше для строк, справедливы и для столбцов).
Th. 7 (произв. квадрат. м-ц). 
, А и В – квадр. м-цы одного порядка.
Д-во: По Th 4 и Лемме ( м-цы A справ.: 1. 
- получ. из A, если к i стр.+ j стр., умн-ю на ; 2. 
- получ. из A, если к j столб. + i, умнож-й на ) 
, где C – произв. м-ца, P – элемент. 
, 
и 
- элем. По Th ( кв. м-ца A м.б. предст. в виде: 
, 
, где 
, - элем., а 
и 
- верх. тр. м-цы) 
, 
, 
и 
. Опр. в. тр. м-цы = *-ю диаг. эл-в 
, 
и 
.
Опр. 
. Обратная матрица к - такая 
, что 
.
Th. (критерий обратимости). Обратная м-ца к 
. При этом:
.
Опр. Системой 
линейных ур-й с 
неизвестными наз-ся система вида:
(1)
.........................................
- нек. числа (причем 
наз-ся коэф-ми, а 
своб-ми чл-ми), 
- неизв.
Рассм. cист. 
лин-х ур-й с 
неизвестными. Ее матрич. зап.: 
, (2)
где: 
, 
, 
.
Th. (правило Крамера). Если , то система (2) имеет единственное решение, которое считается следующим образом: 
, 
,..., 
,
где 
- опр-ль м-цы 
, полученной из 
заменой 
-го столбца на столбец 
.
Д-во: Т.к. 
, то . Получаем: 
.
Достаточно проверить, что 
имеет вид: 
.
,
/разложение по 
-му столбцу/ 
. Осталось только заметить, что 
(т.е. алгебраич. дополнение к позиции 
) равно 
в м-це .
, 
. Отсюда , что 
, т.е. 
. Th док-на.
|
|