Устойчивость упругих стержней. Критическая сила

Устойчивость первого рода - нарушение устойчивости равновесия деформируемых тел, происходящее вследствие отклонений от формы равновесия, которые не могут быть вызваны действующей нагрузкой.

Устойчивость второго рода - нарушение устойчивости, происходящее вследствие того, что сопротивление деформированию с возрастанием нагрузки уменьшается или остается постоянным ввиду возникновения пластических деформаций.

Наиболее общий случай потери устойчивости первого рода для сжатых стержней любого профиля - изгибная форма устойчивости. Рассмотрим прямолинейный стержень с шарнирно-закрепленными концами, показанный на рисунке 1, сжатый силой .

Рисунок 1 - Стержень с шарнирно-закрепленными концами

Отклонение от прямолинейно формы равновесия состоит в искривлении оси стержня. В этом случае для любого сечения имеем . (1)

На основании дифференциальной зависимости между прогибом и изгибающим моментом ( - момент инерции сечения относительно нейтральной оси) , или с учетом формулы (1) .

Обозн . Тогда .Отсюда
Из граничных условий имеем , .

Таким образом . (2) Выражение (2) описывает критическое состояние и позволяет найти критическую силу , Практический интерес представляет наименьшая критическая сила (): . (3) Формула (3) впервые получена Л. Эйлером, поэтому критическая сила называется также эйлеровой критической силой. Критическую силу в случае любого закрепления концов стержня можно определить по формуле (3), если в ней длину стержня заменить длиной полуволны синусоиды, по которой изгибается стержень при данном закреплении. Обозначим длину полуволны . Тогда . В рассмотренных нами случаях имеем:

а) при шарнирном закреплении концов, показанном на рисунке , (количество длин полуволн показано на рисунке 2, а);

б) при заделке одного конца стержня , (количество длин полуволн показано на рисунке 2, б);

в) при шарнирном закреплении одного конца стержня и защемлении другого конца , (количество длин полуволн показано на рисунке 2, в);

г) при заделке двух концов стержня , (количество длин полуволн показано на рисунке 2, г);

а	б	в	г
Рисунок 2 -Количество длин полуволн для стержней с различными закреплениями концов

Таким образом, формула Эйлера (3) для опр-ния критической силы принимает вид: , (4)

где - коэффициент приведения длины.

Для шарнирно закрепленного стержня , для стержня с заделанными концами ; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом ; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом . Отметим, что по формуле (4) критическую силу следует вычислять по значению главного центрального момента инерции (за исключением случаев, когда закрепления концов стержня в различных плоскостях различны).