Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула Тейлора и ее остаточный член
|
|
Поставим задачу: приблизить ф-ю многочленом в заданной т-ке. Пусть ф-я f имеет в т. x0 n производных. выясним, $ ли многочлен Pn(x) степени n, т.ч. 
. Здесь 
Будем искать мн-н в виде: 
. Коэф. Аi наход. однозначно:
, тогда 
и т.д. Получаем 
Получаем. что алг. мн-н м. записать с пом. его производных в некот. т-ке: 
естественно рассм-ть мн-н такого типа для ф-й 
. Будем наз. этот мн-н полиномом Тейлора n-ого порядка для f в т. 
Для его $-я необх. $ 
Разность 
наз. n-ым остатком Тейлора для f в т. .
Теорема1: Пусть ф-я f(x) опред. на (a, b) производные до порядка n включит., тогда при 
, 
. 
-остаточный член n-ого пор. ф-лы Тейлора в форме Пеано.
Док-во: Применяя правило Лопиталя для раскрытия неопределенности 
получим:
, т.е. 
что и т.д.
Теорема 2. Пусть f Î Сn [ x0, х ] имеем n непрер. производных и $ f(n-1) на (х0, х), тогда
остаток в форме Лагранжа.
Следствие: (Локальная форма остаточного члена): Если функции 
определены в окрестности т. 
и 
, то: 
при 
.
Док-во: Применим Th1заменив n на n+1, тогда 
где 
при .
, где 
при . Ч.т.д.
Теорема2: (Глобальная форма остаточного члена): Если функция 
раз дифференцируема на отрезке [a, x], а функция 
дифференцируема на (a, x), то 
(3)
Док-во: Будем искать остаточный член в виде 
где 
не известна. Зафиксируем a и x > a, и введем вспомогательную функцию: 
Эта функция непрер. на [a, x] и дифференцируема на (a, x). Найдем 
По Th Ролля для 
/по Th Ролля/ 
Т.к. , то Þ (3). Ч.т.д.
Замечание: При разных значениях параметра p из (3) получаются часто встречающееся форма остаточного члена:
(а) 
- Лагранжа (б) 
- Коши
|
|