Перемешивание, независимость и фракталы

Как уже было сказано в п. 4-4, в странном аттракторе возникает случайность сразу двух типов –во-первых, вдоль траектории (траектория непредсказуема), а во-вторых, между траекториями (близкие траектории разбегаются по далеким конечным состояниям). Первая принципиально важна тем, что позволяет увидеть новый факт: случайность возникает не от сложности, не от неустойчивости и не от помех, а в ходе реализации простого детерминированного процесса.

Траектории странного аттрактора структурированы: глядя, например, на " бабочку Лоренца", легко заметить, что кольца как бы упакованы слоями; если взглянуть на эти слои " в лупу", каждый слой окажется состоящим из слоев потоньше и т.д. Словом, налицо фрактал в его нестрогом понимании: " Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью, при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности(*), промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т.д." [Лихтенберг, Либерман, 1984, c. 19].

В случае ограниченного фазового объема разбегание траекторий приводит к перемешиванию системы. Определение перемешивания см. в книге [Заславский, 1984, c. 28]. Наглядным примером перемешивания служит тасовка карт. Каждый может сам поставить простой опыт – взять упорядоченную колоду карт, перетасовать ее с той тщательностью, какая обычна в практике игр, и разложить на столе в ряд. Соседними окажутся около десятка пар и, вернее всего, более одной тройки первично соседних карт, чем пользуются в тех играх, где карты принято раздавать парами: попробуйте перетасовать карты с вдесятеро большей тщательностью и раздать их по одной (я это пробовал) – игра типа преферанса потеряет всякий интерес ввиду почти полного отсутствия нужных комбинаций. Этим иллюстрируется тот факт, что перемешивание есть постепенное расцепление корреляций. Иными словами, по ходу перемешивания постепенно возникает независимость между ситуациями, прежде зависимыми.

В п. 3-3.1 было сказано, что независимость заменяет в ТВ отсутствующую в ней случайность. Следовательно, зависимость затрудняет применение ТВ. Это затруднение обходят, вводя условные вероятности, т.е. допускают, что поле случайных событий можно случайным образом разбить на поля независимых случайных событий. Иными словами – что плохо перемешанное поле допускает представление в форме совокупности хорошо перемешанных фрагментов, в пределах каждого из которых элементы тоже хорошо перемешаны.

Однако не все виды зависимости допускают такое разбиение, и при некотором уровне зависимости между событиями ТВ вообще становится неприменима.

Независимость компонент может быть имманентно присуща системе (знаки числа по Ламберту, порядок витков в системе Лоренцаи т.п.), или, другими словами, быть следствием симметрии системы. Но она может и быть порождена той или иной процедурой перемешивания, а это значит, что перемешивание – один из тех феноменов, которые порождают вероятностную случайность. Но если так, то недостаточность перемешивания может вести к невероятностной случайности. Приведу один случай дефекта перемешивания, возникающий в простейшем ветвящемся процессе, рассмотренном в п. 4-7.

Легко видеть, что процесс рождения и гибели изображается фракталом – в том смысле, что ветвящееся древо самоподобно, и по его рисунку неясно, какая часть процесса изображена – начальная или фрагмент более поздней. Однако точное самоподобие достигается только при условии, что ни одна особь не гибнет (процесс чистого размножения), наличие же гибели приводит к обрыву отдельных ветвей (и самоподобие достигается лишь статистическое – см. формулу (40) на с. 42 книги [Иванова и др., 1994]). Именно этот обрыв и порождает невероятностную случайность: вымершие клоны имеют нулевую численность, а немногие выжившие – численность много выше средней; средние по фракталу (точнее, по фрактальному уровню данного поколения) подчиняются ТВ, но они, ввиду отсутствия перемешивания между клонами, мало говорят о реальных численностях.

Характер этой случайности хорошо виден на рис. 11: разные реализации численности Z надкритического ветвящегося процесса изображаются в логарифмических координатах разными прямыми, расстояние W между которыми сохраняется постоянным и вызвано хаотическим поведением Z в первых поколениях; случайная величина W стохастична, однако ее дисперсия стремится к бесконечности, когда ветвящийся процесс стремится к критическому [Харрис, 1966, c. 27]. Об этом подробнее пойдет речь в п. 7-5.