Случайность как число

Желание некоторых конструктивистов построить систему чисел, не обращаясь к случайности, эмоционально понятно: если знаки числа выбираются случайно (свободным выбором или по жребию), то неясно, каким образом локализовать числа (гарантировать их упорядоченность) и как гарантировать всюду плотное заполнение заданного отрезка числовой оси. Им хочется видеть каждую точку оси вычислимой. Однако вычислимые точки составляют малую (с определенной точки зрения, нулевую) часть любого отрезка числовой оси, а подлинно случайные (не содержащие никаких закономерностей) последовательности цифр невычислимы [Якобс, 1972, c. 213], и им соответствуют неконструктивные точки отрезка [0, 1]. Без понятия случайности числовую ось не построить (это видно уже из работы Бореля1909 года), и умеренный конструктивист Мартин-Лёф[1975] не только вполне это понимал, но и значительно углубил данное понимание.

Мы уже видели, что само наличие вероятности у огромного множества случайных явлений следует из строения поля вещественных чисел. Однако этим фактом феномен случайности не исчерпывается (почему вероятность-частота не стремится к пределу? Откуда берется случайность без вероятности?), а с нестандартной точки зрения и само это поле, как видим, не исчерпывает чисел, составляющих числовую ось.

Налицо иерархия способов упорядочения чисел, расположенных на одной общей оси: целые – дробные, рациональные – иррациональные, алгебраические – трансцендентные, конструктивные – неконструктивные, вещественные – нестандартные. Все, кроме целых, заполняют эту ось всюду плотно (между любыми двумя дробями можно вставить дробь, между двумя алгебраическими – алгебраическое и т.д.), так что более детальное разбиение оси, чем на дроби, вроде бы, при поверхностном взгляде, ненужно (что первые критики Кантораи полагали). Далее, все числа, кроме целых, проявляют случайность в своем строении: многие числа длиной в N знаков (т.е. рациональные) невыразимы короче, чем текстом из N знаков. Нужна ли тут иерархия? Быть может, для алеатики достаточно одного-единственного расширения множества чисел – того, которое достигнуто введением дробей?

Нет, иерархия чисел нужна для описания случайности – вспомним хотя бы, что " счетные вероятности" Бореляописываются только теорией вещественных чисел (точнее, теорией меры Лебега), что вероятность как отношение гипернатуральных чисел (см. п. 2-9) даже и вещественным числом, вообще говоря, не является и что, тем самым, взаимодополнительность вероятности-меры и вероятности-частоты (см. п. 5-7) ясна тоже лишь в рамках нестандартного анализа.

Поэтому важно знать, в каком смысле какие числа случайны. Среди стохастических в наивысшей степени случайны все неконструктивные числа – они являют собой единственный строгий пример и единственный класс имманентно случайных чисел [Чайковский, 1985]. Подробно этот тип случайности будет рассмотрен в главе 8, здесь же заметим, что сложность случайности в каком-то смысле уменьшается, быть может – монотонно, от неконструктивных чисел к ряду натуральных чисел (который совсем неслучаен); при этом, что особенно важно, данное уменьшение иногда может быть измерено как " дефект случайности" – см. конец главы 4, а также Пояснение на с. 271.

Учтя сказанное, легко увидеть, что канторова классификация множеств на конечные, счетные и несчетные для алеатики неудобна (даже если отвлечься от описанных в п. 5 неясностей теории Кантора). Заявив, что мощность множества Кантораравна мощности точек отрезка, теория множеств весьма затруднила понимание не только устройства чисел, но и случайности. Более содержательно для нашей темы различать числа целые, дробные, иррациональные алгебраические, трансцендентные (понимаемые как корни более сложных, чем алгебраические, уравнений), неконструктивные и нестандартные; и быть готовым к тому, что в каждой новой группе случайность устроена иначе, чем в предыдущей. Кстати, качественный скачок сложности устройства случайности имеет место внутри области счетных множеств: при переходе от целых чисел к дробным вступает в силу «всюду плотность» и, соответственно, ситэ Мандельброта.

Полное понимание сравнительной роли различных типов случайности чисел в алеатике – дело будущего, а пока попробую осветить различие случайности чисел алгебраических и неконструктивных.