Фрактальный хаос

Вернемся к уравнению (7), к границе множества Жюлиа. В простейшем случае она являет собой " фрактально деформированную окружность" с неподвижной точкой внутри (рис. 8). Каждому значению параметра c = a + b i соответствует свое множество J, что удобно изобразить на плоскости (a, b): здесь каждому J соответствует своя точка. Эти точки образуют множество Мандельброта М (на рис. 9 оно закрашено), граница которого тоже фрактальна. Можно сказать и иначе: если в уравнении (7) зафиксировать параметр c и менять начальную точку z ₀, то получится семейство ломаных траекторий, заполняющих одно единственное множество J на плоскости (x, y), а если зафиксировать z ₀=0 и изменять c, то получится множество М на плоскости (a, b).

Множество М связно (между любыми его точками можно провести линию, целиком лежащую в М), оно имеет ось симметрии (b =0), имеет главную часть, ограниченную кардиоидой (известная кривая 4-го порядка), и бесконечное множество почек. Внутри кардиоиды каждое множество J имеет приблизительно тот же вид, что на рис. 8, зато на ее границе ситуация резко меняется.

Граница множества М унизана почками. На рис. 9 видны: почка 1-го порядка – окружность на оси b =0, три почки 2-го порядка – окружности поменьше (одна на той же оси и две по бокам кардиоиды) и много более мелких почек более высоких порядков. Внутри почки k-го порядка каждое множество J имеет неподвижный цикл из k+1 точек. Каждая почка, как и кардиоида, облеплена бесконечным числом почек более высоких порядков. Кроме почек (они имеют внутренние полости), имеются фрактальные антенны, внутренних полостей не имеющие. Некоторые типы множеств J, расположенных по границе множества М, изображены на рис. 10.

Граница множества М являет пример фрактала, не обладающего самоподобием (границе всего множества М подобны лишь отдельные участки этой границы).

Если в пределах М каждое множество J связно, то вне множества М картина множеств J будет иная: каждое множество J несвязно, т.е. распадается на куски – вблизи границы М число кусков каждого J конечно, вдали – бесконечно (" пыль Фату").

Естественно, наиболее сложная структура множеств J наблюдается на самой границе множества М, где и приходится говорить о новом типе хаоса. Двигаться по самой границе невозможно, поскольку она на любом участке бесконечна, но если двигаться вдоль кардиоиды, заходя лишь в некоторые почки, то множества J, оставаясь связными, будут меняться самым удивительным образом, и чем выше порядок почки, тем сложнее устроены в нем границы множеств J. Для меня наиболее поразительна «долина морских коньков» [Пайтген, Рихтер, 1993, c. 120, 168], воспроизведенная также в работе [Чайковский, 2001a].

Если же мы сместимся чуть вовне от кардиоиды, то наш путь будет непрестанно пересекать границу М, и картины станут сменяться еще прихотливее: ничтожное изменение параметра будет изменять картину качественно – не только бесконечно усложнять систему сомкнутых " фрактально деформированных окружностей", но и обращать их в " дендриты" без внутренних полостей и в несвязные узоры.

Хотя каждый узор симметричен, смена их при многократном пересечении границы М оказывается хаотичной. Хаос этих узоров выражается в их бесконечном и часто непредсказуемом разнообразии. Как к этому новому типу хаоса относиться?

Можно вообще отрицать здесь хаос. Французский математик Адриен Даудиуверен, что здесь имеется семейство " очень сложных объектов, причем не хаотичных, а, наоборот, строго организованных". Наоборот, Мандельбротвидит здесь сразу два типа хаоса – упорядоченный и беспорядочный, эрратический (лат. erratic – беспорядочный). Действительно, при пересечении границы М хаотичность качественно возрастает. К сожалению, об эрратическом хаосе Мандельбротсказал лишь, что не знает, как его исследовать. Приходится двигаться самостоятельно.

Динамическая система, задаваемая уравнением (7), демонстрирует как растянутые отображения (ничтожная разница параметров приводит к качественно иной картине, хотя сходство в типах симметрии близких множеств J очевидно), так и сжатые: формирование узора можно рассматривать как самоорганизацию. Это сочетание создает как раз те условия, какие нужны для возникновения наиболее сложной случайности, о чем шла речь в п. 4-4. Отсюда и двинемся.