Континуум, случайность и дополнительность

Эмоциональное принятие правоты интуиционистов становится, на мой взгляд, для всех возможным с принятием положений нестандартного анализа: на отрезке [0, 1] действительно качественно больше точек, чем в " канторовском континууме", и это можно выразить разными способами, в том числе и введением гипервещественных чисел. " Где помещаются они? Они помещаются между действительными, заполняя пустоты между ними. Но разве существуют такие пустоты? Это как посмотреть" [Успенский, 1987, c. 116].

Насколько знаю, " посмотреть" можно тремя способами. Первый, классический – по Кантору: " В классической математике континуум воспринимается как совокупность своих (вещественных – Ю.Ч.) точек" [Мартин-Лёф, 1975, c. 62]. С этой позиции гипервещественных чисел просто нет, но она неинтересна, поскольку оставляет важные нам вопросы без ответа (точнее, не видит самих вопросов).

Второй подход – конструктивистский. Конструктивизм – уточнение интуиционизма, исходящее из того положения, что реальный смысл имеет только такой математический объект, для которого указан способ его построения. Он полезен (и, по-моему, необходим) при обучении(*), но, увы, подход крайнего конструктивизма оказался близок первому: как писал Мартин-Лёф, " можно попытаться, как Марков и его школа, конструктивизировать теорию континуума, рассматривая его как совокупность его конструктивных точек", но этот путь бесперспективен (там же).

Поясню: А.А. Марков(младший), глава советской школы конструктивистов, около 1960 года предлагал ограничить рассмотрение вещественных чисел одними лишь конструктивными числами (см. его комментарии к книге [Гейтинг, 1965](**)); даже если это выполнимо, то увело бы нас от ответа на желаемые вопросы, поскольку лишь сузило бы поле чисел по сравнению с классическим, тогда как нам надо его расширить.

Третий подход, которому следовал сам Мартин-Лёф[1975, c. 116], умеренный конструктивист, являет собой " интуиционистская концепция континуума как среды свободного становления", т.е. такое понимание континуума, при котором число его точек заранее не оговаривается, а вытекает из каждой задачи свое. Этот подход " может служить оправданием понятия случайной последовательности, задуманного фон Мизесом и разработанного Вальдоми Чёрчем". Здесь нужны два замечания.

Во-первых, попытка Мизесапонять случайность через определение " коллектива" (см. п. 2-6) является по сути интуционистской – так считают сами интуиционисты. Один из них, голландец Аннэ Трёльстра, исследуя " понятие случайной последовательности и независимости случайных последовательностей», писал: «Анализ в нашем (интуиционистском – Ю.Ч.) смысле этой концепции (не вполне удовлетворительный) был предпринят теоретиком вероятности Р. фон Мизесом...; в недавние годы М. ван Ламблагенписал об этом... [Lamblagen, 1992]... Ван Ламблагендоказывает, что даже если мы сможем развить теорию вероятностей на аксиоматической основе, стартуя от понятия вероятностной меры, вместо понятия случайной последовательности, то мы окажемся перед вопросом: что такое случайная последовательность – когда столкнемся с применениями теории вероятностей" [Perspectives..., 1998, c. 198].

Во-вторых, отличие третьего подхода от второго видно из следующей реплики Маркова-младшегона точку зрения Гейтинга(см. предыд. сноску): по Маркову, следует ограничиться только конкретно вычислимыми числами, для каждого из которых задан алгоритм вычисления, а свободный выбор и метание жребия допускать нельзя; и заявлял: " Что же касается соответствия нашему интуитивному представлению о континууме, то это представление настолько смутно, что едва ли можно всерьез спорить о том, какая теория более ему соответствует" [Гейтинг, 1965, c. 165].

Континуум как " среда свободного становления" – это числовая ось, на которой числа не заданы, но любое требуемое может быть вычислено (если оно вообще вычислимо). Таково, на мой взгляд, единственное продуктивное понимание континуума, если вспомнить, что слово это означает непрерывность. Ведь континуум " как совокупность своих точек" – понятие внутренне противоречивое, поскольку никто еще пока не сложил непрерывного отрезка из точек. Попытка Кантораоказалась всего лишь самообманом и подменой слов, а недавние рассуждения А.Н. Паршина[2001] наводят на мысль, что сложить отрезок из точек невозможно в принципе. Точнее, Паршин, опираясь на идею П.А. Флоренского, говорит о взаимодополнительности понятий точки и линии, несводимых друг к другу.

Как видим, линия раздела двух школ, более всего сделавших для понимания устройства числовой оси, проведена как раз по признаку отношения к случайности. Не следует думать, что вопрос этот – сугубо абстрактный и к реальному поведению случайности отношения не имеет. Отнюдь. В п. 5-2 мы видели позицию Успенского, который выразил уверенность в необходимости одновременного рассмотрения различных моделей одного явления. В том же параграфе его книги высказана мысль, что единый масштаб чисел неинформативен, что величины, бесконечно малые с одной точки зрения, оказываются с иной позиции конечными и что это оправдывает основную идею нестандартного анализа. Это значит, что как бы тесно мы ни лепили точки, процесс останется дискретным, и на каком-то этапе (в каком-то масштабе) дискретность окажется определяющей суть явления. Для биологии, где субмикрообъект (ген) своим изменением (возможно, случайным) изменяет макрообъект (организм), а иногда и мегаобъект (экосистему), это очень важно: различие масштабов здесь может составлять 15 десятичных порядков. А в физике – даже 30 порядков.

Как в природе, так и в математике непрерывный объект содержит точки, но не складывается из точек. Другими словами, непрерывность – иной взгляд, нежели точечный; точнее, взгляд, дополнительный точечному. Это приводит к мысли, что и двойственность вероятности (п. 5-7) – естестственное ее понимание, годное не для отдельных задач, а для алеатики в целом.