Точность дискретных систем управления

Для преобразованного характеристического уравнения условием устойчивости является нахождение всех его корней в левой полуплоскости. Поэтому после билинейного преобразования для оценки устойчивости дискретной системы можно использовать все критерии, разработанные для непрерывных систем.

21. Условие устойчивости для дискретной системы 2-го порядка (вывести).

Дискретное звено второго порядка

следующее по сложности математического описания после звена первого порядка. Интересно было бы посмотреть на области его устойчивости, а также определить тип, характер устойчивости в отдельных областях.

Для начала посмотрим, как перемещаются по комплексной плоскости корни звена, при изменении его параметров (коэффициентов характеристического Z-полинома):

Рис. 3.1.1. Лист Маткада. Траектории перемещения корней характеристического Z-полинома дискретного звена второго порядка при изменении коэффициентов полинома (приподняты или опущены на 0.1 и 0.05 во избежание наложения графиков на действительной оси). С увеличением коэффициента а₁ и при положительных значениях коэффициента а₂ первый корень перемещается из бесконечности, описывают полуокружность и направляется по действительной оси к началу координат при стремлении а₁ к бесконечности. Второй корень перемещается из начала координат вправо по действительной оси, делает полукруг и далее отправляется в минус бесконечность по действительной оси при стремлении а₁ к минус бесконечности.
При а₂ = 2 области устойчивости не существует, при а₂ = 0.5 существует диапазон изменения а₁, при котором оба корня находятся в окружности радиуса 1, т.е. звено устойчиво

При отрицательных значениях коэффициента а₂ корни просто перемещаются по действительной оси

Рис. 3.1.2. Корни перемещаются справа налево, первый из бесконечности к началу координат, второй из начала координат в минус бесконечность. Действительность корней не может, как уже было показано выше, служить основанием для утверждения, что переходные процессы монотонно-апериодические, а не колебательные. Здесь тоже можно ожидать колебаний. Графики приподняты или опущены на 0.1 и 0.05 во избежание их наложения на действительной оси. При а₂ = 0.5 существует диапазон изменения коэффициента а₁, в котором звено устойчиво (оба корня одновременно находятся в круге радиуса 1)

Как сказывается соотношение между коэффициентами характеристического Z-полинома на свойствах звена, в частности, на его устойчивости и ее характере рассмотрим ниже

22. Частотный спектр решетчатой функции.

Особенностью частотной характеристики цифровых САУ является ее периодичность. Это следует из разложения в спектр решетчатой функции х^*(t) с помощью преобразования Фурье:

(1.34)

Учитывая, что

,

получим

(1.35)

Решетчатая функция в выражении (1.35) является периодической, с периодом квантования Т (см. рис 1.3, б). Следовательно, ее можно представить рядом Фурье, т.е. бесконечной суммой гармоник, кратных частоте .

В комплексной форме такой ряд имеет вид:

(1.36)

где

.

Учитывая, что существует только при t=0, получим

или

(1.37)

Подставив (1.37) в (1.35), будем иметь

(1.38)

Т.к. интеграл от суммы слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых, то знак å можно вынести за знак интеграла

(1.39)

Интеграл Фурье в выражении (1.39) даёт частотную характеристику, зависящую от двух аргументов – частоты и номера такта,

Следовательно,

(1.40)

представляет собой периодический спектр с периодом повторения .

Если частотный спектр непрерывной функции х(t) ограничен частотным

диапазоном от до , как показано на рис 1.6, то частотный спектр импульсной функции х^*(t), в соответствии с выражением (1.40), будет иметь вид периодически повторяющегося спектра этой непрерывной функции x(t) (рис. 1.7).

Получается, что решетчатый сигнал имеет неограниченный спектр частот по сравнению с ограниченным спектром соответствующего непрерывного сигнала.

23. Теорема Котельникова-Шенона.

Получается, что решетчатый сигнал имеет неограниченный спектр частот по сравнению с ограниченным спектром соответствующего непрерывного сигнала.

Появление эффекта периодически появляющихся боковых спектров поясняется рисунком 1.8, из которого видно, что одной и той же периодической решетчатой функции соответствует бесконечное количество кратных частот. Т.е. импульсный квантователь не фильтрует частоты, а наоборот, при восстановлении непрерывного сигнала из дискретного появляется спектр боковых частот.

Рис. 1.8. Соответствие сигналам разной частоты одной и той же решетчатой функции

Для того чтобы из бесконечного периодического спектра выделить спектр непрерывного сигнала и затем однозначно его определить как функцию времени, достаточно пропустить его через идеальный фильтр с диапазоном ±w_С

(рис. 1.9).

Но такое восстановление исходной непрерывной функции возможно не во всех случаях. При увеличении периода квантования Т соответствующая ему частота w₀ уменьшится, и спектральная характеристика х^*(t) примет другой вид. Спектры, соответствующие непрерывной функции х(t), будут, как показано на рис.1.10, накладываться друг на друга.

В этом случае восстановить непрерывный сигнал с помощью идеального фильтра не представляется возможным. Т.е. период квантования выбран слишком велик, что ведет к потере информации.

Из изложенного следует известная теорема Котельникова-Шеннона: для восстановления непрерывного сигнала из его импульсного аналога необходимо, чтобы частота квантования была не меньше удвоенной частоты самой высокой значимой частоты непрерывного сигнала

w₀ > 2w_C или (1.41)

Следовательно, если на объект управления действует возмущающее воздействие, спектр которого имеет максимально значимую частоту w_ЗМ, то для того чтобы цифровая замкнутая система могла нейтрализовать действие такого возмущения, необходимо, согласно теореме Котельникова-Шеннона выполнить условие:

(1.42)

За w_вм обычно принимают частоту, у которой амплитуда

А(w_ВМ) = (0, 01 ¸ 0, 1)А_М(w_в), (1.43)

где А_М(w_в) – максимальная амплитуда в частотном спектре возмущающего сигнала.

Частотный подход, очевидно, можно применить и к задающему сигналу. Для того, чтобы цифровая САУ отрабатывала задающий сигнал, по аналогии с (1.42), получим, что

(1.44)

где w_З – максимальная значащая частота задающего сигнала.

24. Построение переходных процессов в импульсных системах методом разложения в ряд Лорана.

Поведение переходной функции общего вида можно получить разложением Z-переходной функции в ряд Лорана, т.е., попросту разделив числитель Z-передаточной функции на знаменатель

Методы определения переходных процессов в цифровых САУ основываются на Z-преобразовании переходного процесса, которые при единичном входном сигнале имеют вид (198) Для расчета дискретного переходного процесса нужно найти обратное -преобразование уравнения (198). При этом следует применять формулу обращения (152), которая устанавливает, что дискретные значения переходного процесса (199) где – полюсы уравнения (198); i=1, 2,..., e. Вычет в простом полюсе вычисляется по формуле (200) Вычет в полюсе кратности K (201) Характер изменения переходного процесса зависит от полюсов передаточной функции цифровой системы. В качестве примера на рис. 35 показаны составляющие переходного процесса для двух случаев расположения полюсов системы на плоскости комплексного переменного z. Дискретные значения переходного процесса могут быть найдены также путем разложения H(z) в ряд Лорана. Для этого нужно числитель H(z) разделить на его знаменатель. В результате получим: (202) Рис. 35. Дискретный переходный процесс: a – расположение полюсов; б – cоставляющие переходного процесса Коэффициенты при z определяют значения переходного процесса. Для наглядности графика переходного процесса рекомендуется его дискретные значения соединять прямолинейными отрезками. Страница: 32 из 39; < < назад ^ вперед> >

25. Построение переходных процессов в импульсных системах с помощью разностного уравнения.

26. Цифровой ПИД - регулятор, его передаточная функция.

Уравнение непрерывного ПИД-регулятора имеет вид

. (2.1)

Или применяя преобразование Лапласа, получим

. (2.2)

.

Согласно (2.4) Z-преобразованное выражение для дискретно­го ПИД-регулятора будет иметь вид

. (2.5)

Подчеркнем еще раз, что отличие от (2.4) состоит в том, что коэф­фициенты q₀, q₁, q₂ не зависят от длительности импульсов, т.к. они учитываются в формирующем звене, объединяемом при получении диск­ретной передаточной функции с объектом управления (см. (1.20)).

Согласно (2.5) дискретная передаточная функция регулятора

. (2.6)

Наличие полюса z = 1 говорит о том, что в установившемся режиме ошибка e(z) будет равна нулю (астатический регулятор).

В общем случае передаточная функция астатического дискретного регулятора имеет следующий вид

.

По аналогии с выражением для непрерывного регулятора (2.2) уравнение дискретного регулятора (2.6) можно представить в следующем виде

. (2.8)

Приравнивая в (2.6) и (2.8) коэффициенты при одинаковых степенях, получим

; ; . (2.9)

27. Определение коэффициента цифрового ПИД ² (ПИДД) регулятора.

Уравнения (2.1) и (2.2) показывают, что в случае малых значений периода квантования Т связь между коэффициентами непрерывного и дискретного ПИД-регуляторов определяется следующими соотношениями

; ; . (2.12)

Определение коэффициентов дискретных регуляторов осуществляется теми же способами, что и для непрерывных систем: методом параметрической настройки, когда определяются критические значения коэффициентов, а затем они изменяются для получения заданного запаса устойчивости, либо путем расчета оптимальных коэффициентов, минимизирующих заданный критерий качества регулирования, например, квадратичный интегральный.

Рассмотрим способ определения критических коэффициентов дискретного регулятора. В §1.1 определено, что апериодическому звену первого порядка (1.11) соответствует дискретная передаточная функция

.

Очевидно, что при соблюдении соотношения (2.15) расчет коэффициентов ПИД-регулятора можно производить по рекомендациям, разработанным для непрерывных систем управления. При переходе к дискретному алгоритму ПИД-регулятора его коэффициенты пересчитываются в соответствии с зависимостями (2.12).

Структурная схема регулятора, соответствующая алгоритму уравнения (2.4) или (2.8), представлена на рис.2.1. С целью ограничения начального броска управляющего воздействия с выхода регулятора при резком изменении задающего сигнала u_з(z), чаще применяют модифицированный алгоритм, структурная схема которого представлена на рис. 2.2.

Рис.2.1. Система с дискретным ПИД-регулятором

28. Методика синтеза непрерывного компенсационного регулятора.

Методика синтеза непрерывного компенсационного регулятора.

Главной задачей замкнутых систем регулирования является воспроизведение с максимальной точностью заданного сигнала

, (2.16)

т.е. регулятор должен компенсировать инерционность объекта. В случае непрерывной (аналоговой) одноконтурной системы управления (см. рис.1.5.) передаточная функция замкнутой системы при полной компенсации должна представлять безынерционное звено, например, с коэффициентом k_с

.

Приняв для упрощения вывода W_СП(p)=1 и W_Д(p)=1, получим

.

Откуда при k_с < 1 выражение для передаточной функции компенсационного регулятора определяется следующим образом

.

Например, для объекта первого порядка

,

где ; .

Т.е. для полной компенсации требуется реализовать идеальное дифференцирующее звено, что на практике не осуществимо. Поэтому требования к компенсационному регулятору необходимо ослабить.

Для общего случая можно записать

, (2.17)

где W_g(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы.

Из (2.17) следует, что

. (2.18)

Передаточная функция W_g(p) должна выбираться из двух противоречивых условий ­­­- возможно более точного воспроизведение задающего сигнала и реализуемости регулятора. Признаком реализуемости непрерывной передаточной функции является выполнение условия

m £ n, (2.19)

где m - порядок полинома числителя;

n - порядок полинома знаменателя положительных степеней относительно переменной р.

Учитывая, что при перемножении полиномов их порядки складываются, условие реализуемости компенсационного регулятора согласно (2.18) будет определятся следующим выражением

, (2.20)

где n и m - соответственно порядок числителя и знаменателя желаемой передаточной функции.

Для рассматриваемого примера с объектом первого порядка это условие будет иметь вид

Значит, минимальное значение порядков числителя и знаменателя W_g(p), очевидно, будет следующим

n = 0; m = 1.

Т. е. желаемая передаточная функция, как и объект, будет иметь вид звена первого порядка .

Но, в отличие от объекта, замкнутая система будет иметь большее быстродействие, если задать условие T_g < < T_o.

По формуле (2.18) получим

.

Для удовлетворения требования по точности (2.16) в установившемся режиме примем k_g = 1. В этом случае

,

где; .

Таким образом получили реализуемый ПИ-регулятор. При T_g ® 0 обеспечивается приближение к требованию наиболее быстрого воспроизведения задающего сигнала в переходных режимах. Практически минимальное значение T_g ограничивается технической реализуемостью коэффициентов k_П и k_И, величина которых возрастает с увеличением T_g, и помехозащищенностью контура регулирования.

Если объект более высокого порядка, то согласно условию (2.20) соответствующий порядок будет иметь компенсационный регулятор. Задача упрощается, когда модель объекта можно представить в виде последовательно соединенных простейших звеньев с измеряемыми выходными сигналами. В этом случае инерционность каждого звена компенсируется своим регулятором. По этому принципу строятся системы подчиненного (каскадного) регулирования.

29. Методика синтеза цифрового компенсационного регулятора.

Для общего случая можно записать

, (2.17)

где W_g(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы.

Очевидно, что выражение (2.17) справедливо и для одноконтурной дискретной системы (см. рис.1. 5).

, (2.21)

где W_C(z) - дискретная передаточная функция объекта с формирующим звеном.

Из этого выражения следует, что

. (2.22)

Условие реализуемости дискретной передаточной функции определяется также соотношением (2.19), где m и n - порядок полинома числителя и знаменателя положительных степеней относительно переменной z. В противном случае выходной сигнал с выхода дискретного звена будет зависеть от значения выходного сигнала в такты времени, которое еще не поступило, что практически не реализуемо. Следовательно, реализуемость дискретного компенсационного регулятора так же определяется условием (2.20).

Рассмотрим определение W_R(z) так же на примере первого порядка.

В Z-преобразованном виде получим выражение, аналогичное выражению (1.25),

, (2.23)

где; .

Необходимо отметить, что в дискретной системе на минимальную величину T_g накладывается дополнительное ограничение (2.14), связанное с длительность периода квантования Т.

Подставляя в (2.22) выражения для передаточных функций (1.25) и (2.23), получим

или

,

где ; .

30. Условия реализуемости цифрового компенсационного регулятора.

Для общего случая можно записать

, (2.17)

где W_g(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы.

Из (2.17) следует, что

. (2.18)

Передаточная функция W_g(p) должна выбираться из двух противоречивых условий ­­­- возможно более точного воспроизведение задающего сигнала и реализуемости регулятора. Признаком реализуемости непрерывной передаточной функции является выполнение условия

m £ n, (2.19)

где m - порядок полинома числителя;

n - порядок полинома знаменателя положительных степеней относительно переменной р.

Учитывая, что при перемножении полиномов их порядки складываются, условие реализуемости компенсационного регулятора согласно (2.18) будет определятся следующим выражением

, (2.20)

где n и m - соответственно порядок числителя и знаменателя желаемой передаточной функции.

Для рассматриваемого примера с объектом первого порядка это условие будет иметь вид .

Значит, минимальное значение порядков числителя и знаменателя W_g(p), очевидно, будет следующим

n = 0; m = 1.

Т. е. желаемая передаточная функция, как и объект, будет иметь вид звена первого порядка

.

Но, в отличие от объекта, замкнутая система будет иметь большее быстродействие, если задать условие T_g < < T_o.

По формуле (2.18) получим

.

Для удовлетворения требования по точности (2.16) в установившемся режиме примем k_g = 1. В этом случае

,

где; .

Таким образом получили реализуемый ПИ-регулятор. При T_g ® 0 обеспечивается приближение к требованию наиболее быстрого воспроизведения задающего сигнала в переходных режимах. Практически минимальное значение T_g ограничивается технической реализуемостью коэффициентов k_П и k_И, величина которых возрастает с увеличением T_g, и помехозащищенностью контура регулирования.

Если объект более высокого порядка, то согласно условию (2.20) соответствующий порядок будет иметь компенсационный регулятор. Задача упрощается, когда модель объекта можно представить в виде последовательно соединенных простейших звеньев с измеряемыми выходными сигналами. В этом случае инерционность каждого звена компенсируется своим регулятором. По этому принципу строятся системы подчиненного (каскадного) регулирования.

Очевидно, что выражение (2.17) справедливо и для одноконтурной дискретной системы (см. рис.1. 5).

, (2.21)

где W_C(z) - дискретная передаточная функция объекта с формирующим звеном.

Из этого выражения следует, что

. (2.22)

Условие реализуемости дискретной передаточной функции определяется также соотношением (2.19), где m и n - порядок полинома числителя и знаменателя положительных степеней относительно переменной z. В противном случае выходной сигнал с выхода дискретного звена будет зависеть от значения выходного сигнала в такты времени, которое еще не поступило, что практически не реализуемо. Следовательно, реализуемость дискретного компенсационного регулятора так же определяется условием (2.20).

Рассмотрим определение W_R(z) так же на примере первого порядка.

В Z-преобразованном виде получим выражение, аналогичное выражению (1.25),

, (2.23)

где; .

Необходимо отметить, что в дискретной системе на минимальную величину T_g накладывается дополнительное ограничение (2.14), связанное с длительность периода квантования Т.

Подставляя в (2.22) выражения для передаточных функций (1.25) и (2.23), получим

или ,

где ; .

Таким образом, получили дискретный ПИ-регулятор.

31. Вывод передаточной функции апериодического регулятора.

Особый интерес в дискретных системах представляет особой вид компенсационных регуляторов, которые обеспечивают апериодическую обработку ступенчатого задающего сигнала за n-тактов, где n - порядок объекта управления. Такие регуляторы называются апериодическими регуляторами.

Передаточная функция объекта совместно с формирователем имеет вид

. (2.24)

Следовательно желаемая передаточная характеристика замкнутой системы регулирования, которая соответствует апериодическому переходному процессу за n тактов, будет определятся следующим выражением

, (2.25)

где .

Убедимся, что при ступенчатом воздействии u_з(k) = const (k = 0, 1, 2…) переходный процесс закончится за n тактов. В соответствии с (2.24) и (2.25) выходная координата определяется выражением

.

Применив к этому выражению обратное Z-преобразование, получим следующее разностное уравнение

.

Определим y(k) при k=1, 2, 3…

;

;

…………………………………………………………………….

;

;

……………………………………………………………………..

Учитывая, что u_з(k) – постоянная величина, ее можно вынести за скобки. Из анализа двух последних выражений видно, y(n+1) = y(n), т.е. переходный процесс закончился за n тактов. Подставив из (2.24) выражение для коэффициента q₀, получим, что за это время выходная координата достигает заданного значения

.

Определим передаточную функцию регулятора, который обеспечивает такой апериодический переходный процесс. Подставим в (2.22) выражение для передаточных функций (2.24) и (2.25)

.

После преобразования получим передаточную функцию апериодического регулятора

. (2.26)

В развернутом виде согласно (2.23) и (2.25) получим

, (2.27)

где q₀ = 1/Sb_i; q_i = q₀a_i; p_i = -q₀b_i, i = 1, 2, …, n;

a_i, b_i - коэффициенты передаточной функции объекта управления.

32. Периодический регулятор для объекта первого порядка.

Главной задачей замкнутых систем регулирования является воспроизведение с максимальной точностью заданного сигнала

, (2.16)

т.е. регулятор должен компенсировать инерционность объекта. В случае непрерывной (аналоговой) одноконтурной системы управления (см. рис.1.5.) передаточная функция замкнутой системы при полной компенсации должна представлять безынерционное звено, например, с коэффициентом k_с

.

Приняв для упрощения вывода W_СП(p)=1 и W_Д(p)=1, получим

.

Откуда при k_с < 1 выражение для передаточной функции компенсационного регулятора определяется следующим образом

.

Например, для объекта первого порядка

,

где ; .

Т.е. для полной компенсации требуется реализовать идеальное дифференцирующее звено, что на практике не осуществимо. Поэтому требования к компенсационному регулятору необходимо ослабить.

Для общего случая можно записать

, (2.17)

где W_g(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы.

Из (2.17) следует, что

. (2.18)

Передаточная функция W_g(p) должна выбираться из двух противоречивых условий ­­­- возможно более точного воспроизведение задающего сигнала и реализуемости регулятора. Признаком реализуемости непрерывной передаточной функции является выполнение условия

m £ n, (2.19)

где m - порядок полинома числителя;

n - порядок полинома знаменателя положительных степеней относительно переменной р.

Учитывая, что при перемножении полиномов их порядки складываются, условие реализуемости компенсационного регулятора согласно (2.18) будет определятся следующим выражением

, (2.20)

где n и m - соответственно порядок числителя и знаменателя желаемой передаточной функции.

Для рассматриваемого примера с объектом первого порядка это условие будет иметь вид

.

Значит, минимальное значение порядков числителя и знаменателя W_g(p), очевидно, будет следующим

n = 0; m = 1.

Т. е. желаемая передаточная функция, как и объект, будет иметь вид звена первого порядка

.

Но, в отличие от объекта, замкнутая система будет иметь большее быстродействие, если задать условие T_g < < T_o.

По формуле (2.18) получим

.

Для удовлетворения требования по точности (2.16) в установившемся режиме примем k_g = 1. В этом случае

,

где; .

Таким образом получили реализуемый ПИ-регулятор. При T_g ® 0 обеспечивается приближение к требованию наиболее быстрого воспроизведения задающего сигнала в переходных режимах. Практически минимальное значение T_g ограничивается технической реализуемостью коэффициентов k_П и k_И, величина которых возрастает с увеличением T_g, и помехозащищенностью контура регулирования.

Если объект более высокого порядка, то согласно условию (2.20) соответствующий порядок будет иметь компенсационный регулятор. Задача упрощается, когда модель объекта можно представить в виде последовательно соединенных простейших звеньев с измеряемыми выходными сигналами. В этом случае инерционность каждого звена компенсируется своим регулятором. По этому принципу строятся системы подчиненного (каскадного) регулирования.

33. Достоинства и недостатки апериодического регулятора.

Из (2.6), (2.27) и (2.39) следует, что программно-дискретные ПИД-регуляторы и апериодические регуляторы реализуются практически одинаково (см. выражение (2.4)). Применение того или иного регулятора зависит от конкретных требований к качеству управления, вида объекта управления и допустимой величины периода квантования. Дискретные И-, ПИ-, ПИД-регуляторы целесообразно применять для объектов не выше третьего порядка или в системах подчиненного или каскадного регулирования, особенно для стабилизации выходной координаты при u_з = const. Достоинством этих регуляторов является наличие разработанных рекомендаций для их настройки, особенно для случаев, когда синтез можно производить по непрерывному описанию системы управления (условие (2.14)).

Достоинство компенсационных регуляторов состоит в возможности их синтеза путем задания желаемой передаточной функции замкнутой системы. В принципе, порядок объекта не ограничен. Однако надо учитывать, что результирующая передаточная функция получается путем сокращения полюсов и нулей в передаточной функции объекта управления (путем их компенсации). Поэтому регулятор применим только для устойчивых объектов, т.е. таких, у которых полюсы и нули дискретной передаточной функции лежат на плоскости внутри единичной окружности.

Наиболее просто осуществляется синтез апериодического регулятора. Однако конечное время установления достигается только при точном совпадении модели объекта и истинными параметрами самого объекта. Если такого совпадения нет, то в замкнутой системе могут возникнуть колебания. Поэтому апериодический регулятор целесообразно использовать только для хорошо задемпфированных устойчивых объектов или в системах адаптивного управления с идентификацией параметров объекта.