Свойства Z -преобразования

Обозначим результат Z-преобразования

1. Линейность. Для любых постоянных с_i, i =1,..., m, справедливо

2. Запаздывание (формула запаздывания):

,

где f (n-k)=0 при n-k < 0

3. Опережение (формула опережения):

4. Дифференцирование изображения

5. Умножение изображений. Свертке оригиналов соответствует произведение изображений:

6. Теоремы о предельных значениях.

где z стремится к бесконечности вдоль произвольного пути.

Если существует, то

Применение Z-преобразования позволяет решать для импульсных систем те же задачи, что и для непрерывных систем: исследование устойчивости, синтез корректирующих звеньев, определение реакции на внешние воздействия и так далее.

13. Пример получения для дискретного интегратора импульсной передаточной функции.

Получение дискретной передаточной функции из непрерывной передаточной функции

Непрерывная часть цепи задана в обычном виде передаточной функцией W(s). Для отыскания дискретной передаточной функции W(z) необходимо предварительно находить весовую функцию из передаточной функции W(s), а затем воспользоваться выражением (161). К дискретной передаточной функции от непрерывной можно перейти через таблицы соответствия изображения по Лапласу и Z-изображения. Этому непосредственному переходу от W(s) к W(z) соответствует условная запись: . (177) Способы получения дискретной передаточной функции по формулам (161) и (177) являются точными, но их применение для реальных систем второго порядка и выше затруднительно. Поэтому в практических расчетах импульсных систем используют приближенные способы перехода от передаточной функции W(s) к дискретной передаточной функции W(z). Эти способы основаны на замене производной во времени, фигурирующей в уравнении непрерывной части, первой разностью: . (178) Запишем дифференциальное уравнение непрерывного интегратора: (179) и, подставив в него (178), получим разностное уравнение интегратора . (180) Запишем уравнение (180) в Z-форме: . (181) Отсюда дискретная передаточная функция интегратора . (182) Учитывая, что обычная передаточная функция интегратора , (183) получаем одну из наиболее часто используемых формул приближенного перехода от передаточной функции к дискретной передаточной функции:

14. Таблица Z преобразований (необходимо расшифровать)

Импульсные системы по сравнению с непрерывными при одних и тех же параметрах регулятора и объекта имеют меньший запас устойчивости или могут оказаться вообще неустойчивыми. Это вызвано квантованием сигналов по времени, из-за чего информация в системе передается с запаздыванием, равным в худшем случае t =Т. Однако в благоприятные моменты запаздывание будет равно нулю, т.е. запаздывание будет переменным. Поэтому исследование устойчивости импульсных систем необходимо проводить методами, отличающимися от исследования непрерывных систем с запаздыванием. Для этих целей применяется математическое описание импульсных систем с помощью дискретного преобразования Лапласа или Z-преобразования (таблица 1).

Таблица 1. Z-преобразование функций времени.

x(t)	X(s)	x[nT]	X(z)
d(t)		d[nT]
1(t)	1/s	1[nT]	z/(z-1)
t	1/s2	nT	Tz/(z-1)2
	1/(s+a)		z/(z-d) (d= )
	1/(s+a)2		(d= )

15. Свойства Z преобразования.