Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании

Из рассмотренных выше конечноразностных соотношений для определения производных видно, что порядок их точности прямо пропорционален числу узлов интерполяции. Однако с увеличением числа интерполяционных точек увеличивается объем вычислений, усложняется оценка их точности. Для устранения этого разработан простой и эффективный способ уточнения решения при конечном числе узлов при конечно-разностном подходе – метод Рунге-Ромберга.

Пусть F (x) производная, подлежащая аппроксимации, а f (x, h) – ее конечно-разностная аппроксимация на равномерной сетке с шагом h. Тогда остаточный член аппроксимации можно записать в следующем виде:

,

где первый член является главной частью погрешности. Значение производной примет вид

+ . (16)

Запишем (16) в той же точке, но с другим шагом h ₁ = kh, тогда:

+ . (17)

Приравнивая правые части (16) и (17) находим выражения для определения главного члена погрешности.

. (18)

Подставляя (18) в (16) получим рабочую формулу:

. (19)

Данная формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной с шагом h и kh повысить порядок точности от h ^r до h ^r+1.

Пример. Вычислить производную от y = x ³ для x = 1. Очевидно, что ее точное значение y (1) = 3. Составим таблицу значений этой функции в окрестности заданной точки (x = 1):

Воспользуемся аппроксимацией с помощью левых разностей с порядком r = 1. Примем h ₁ = 0, 1; h ₂ = 0, 2; т.е. k = 2

f (x, h) = ;

f (x, kh) = ;

Тогда

F (x) = .

Есть подходы к решению данной задачи для общего случая, когда для уточнения решения используется h ₁, h ₂, …, h_g шагов. Для этого необходимо, чтобы исходная функция имела производные высших порядков.

Замечания

1. Как видно из выше изложенного, что порядок точности по полученным формулам для численного дифференцирования по отношению к шагу сетки равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов интерполяции, необходимое для вычисления m -ой производной должен быть равным m +1.

2. Из практических соображений рекомендуется использовать для расчетов 4–6 интерполяционных узла. Тогда при хорошо составленной сетке хорошая точность достигается при вычислении первой или второй производных, удовлетворительная точность достигается для 3 и 4 производных. Для более высоких порядков производных данная сетка не применима.

3. С ростом порядка m обычно резко падает точность численного дифференцирования, и поэтому эти формулы для вычисления производных выше второго порядка используются редко.