Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:

— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
— Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании

Из рассмотренных выше конечноразностных соотношений для определения производных видно, что порядок их точности прямо пропорционален числу узлов интерполяции. Однако с увеличением числа интерполяционных точек увеличивается объем вычислений, усложняется оценка их точности. Для устранения этого разработан простой и эффективный способ уточнения решения при конечном числе узлов при конечно-разностном подходе – метод Рунге-Ромберга.

Пусть F (x) производная, подлежащая аппроксимации, а f (x, h) – ее конечно-разностная аппроксимация на равномерной сетке с шагом h. Тогда остаточный член аппроксимации можно записать в следующем виде:

,

где первый член является главной частью погрешности. Значение производной примет вид

+ . (16)

Запишем (16) в той же точке, но с другим шагом h ₁ = kh, тогда:

+ . (17)

Приравнивая правые части (16) и (17) находим выражения для определения главного члена погрешности.

. (18)

Подставляя (18) в (16) получим рабочую формулу:

. (19)

Данная формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной с шагом h и kh повысить порядок точности от h ^r до h ^r+1.

Пример. Вычислить производную от y = x ³ для x = 1. Очевидно, что ее точное значение y (1) = 3. Составим таблицу значений этой функции в окрестности заданной точки (x = 1):

Воспользуемся аппроксимацией с помощью левых разностей с порядком r = 1. Примем h ₁ = 0, 1; h ₂ = 0, 2; т.е. k = 2

f (x, h) = ;

f (x, kh) = ;

Тогда

F (x) = .

Есть подходы к решению данной задачи для общего случая, когда для уточнения решения используется h ₁, h ₂, …, h_g шагов. Для этого необходимо, чтобы исходная функция имела производные высших порядков.

Замечания

1. Как видно из выше изложенного, что порядок точности по полученным формулам для численного дифференцирования по отношению к шагу сетки равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов интерполяции, необходимое для вычисления m -ой производной должен быть равным m +1.

2. Из практических соображений рекомендуется использовать для расчетов 4–6 интерполяционных узла. Тогда при хорошо составленной сетке хорошая точность достигается при вычислении первой или второй производных, удовлетворительная точность достигается для 3 и 4 производных. Для более высоких порядков производных данная сетка не применима.

3. С ростом порядка m обычно резко падает точность численного дифференцирования, и поэтому эти формулы для вычисления производных выше второго порядка используются редко.