Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Среднеквадратичного приближения




Требуется найти набор коэффициентов такой, что величина – среднеквадратичное отклонение (невязка) принимает наименьшее значение . Такая задача называется линейной задачей метода наименьших квадратов. Здесь в качестве критерия выбирается условие, что сумма квадратов отклонений во всех узлах сетки таблицы должна быть минимальной, т.е. .

Существует несколько подходов к решению этой задачи. Простейший из них состоит в следующем: нужно использовать условие минимума функции как функции нескольких переменных для получения системы уравнений относительно . Заметим, что минимум функции достигается при том же наборе коэффициентов , что и при достижении минимума функции . Условие минимума функции можно записать следующим образом: . После дифференцирования и перемены порядка суммирования получим систему алгебраических уравнений:

. (3)

В том случае, когда в качестве базовых функций выбираются степенные функции , в роли аппроксимирующей функции выступает полином . Тогда система (3) упрощается: . Описанный метод построения многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения части называют методом наименьших квадратов.

Построение многочленов наилучшего

среднеквадратичного приближения

Пример: Зададимся , тогда . Функция в этом случае примет следующий вид , а условие минимума этой функции запишется следующим образом . Тогда приходим к необходимости решения следующей системы линейных алгебраических уравнений

Зададимся , тогда . Тогда приходим к решению следующей системы


Пример: Пусть функция задана таблицей своих значений

0.1264 0.3487 0.6481 0.4398 0.4643

 

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эту функцию многочленами первой и второй степени.

В практических расчетах для построения СЛАУ заполняют вспомогательную таблицу

0.1264
0.3487 0.3487 0.3487
0.6481 1.2962 2.5924
0.4398 1.3194 3.9582
0.4643 1.8572 7.4288
2.0273 4.8215 14.3281

 

 

.

 

Вычислим невязку для :

Аналогично вычисляется невязка для :

.

На рисунке представлены графики кривыхмногочленов наилучшего среднеквадратичного приближения первой и второй степени.

 

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал