Равномерное приближение функций

Определение: Пусть функция задана таблицей своих значений , . Говорят, что многочлен приближает функцию с точностью , если максимальное отклонение на промежутке не превышает , т.е. .

Задача построения многочлена наилучшего равномерного приближения ставится следующим образом. Среди всех многочленов заданной степени найти такой многочлен, который приближает равномерно функцию с наибольшей точностью.

С вычислительной точки зрения эта задача очень сложна, поэтому на практике обычно ограничиваются построением многочленов, близких к наилучшим, или просто строят многочлен, приближающий с заданной точностью.

Замечание: Пусть такова, что слабо меняется на , тогда интерполяционный многочлен с чебышевскими узлами , , близок к многочлену наилучшего равномерного приближения степени .

Контрольные вопросы

1. Какие критерии согласия чаще всего используются при решении задач приближения функции?

2. Как ставится задача интерполирования?

3. Сформулируйте постановку задачи интерполирования алгебраическими многочленами (алгебраического интерполирования).

4. Запишите условие интерполирования для каждого узла таблицы.

5. Какие формы записи алгебраического интерполяционного многочлена Вам известны?

6. Какие вспомогательные многочлены используются для построения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.

7. Приведите общий вид интерполяционного многочлена степени в форме Лагранжа.

8. Запишите многочлены Лагранжа первой, второй и третьей степени.

9. Какова наименьшая степень многочлена, удовлетворяющая условию интерполирования для таблицы из узлов?

10. Какова наибольшая степень многочлена, удовлетворяющая условию интерполирования для таблицы из узлов?

11. Каким образом выбираются узлы интерполирования для построения многочленов Лагранжа?

12. Что называется разностными отношениями первого порядка.

13. Что называется разностными отношениями второго порядка.

14. Как строится интерполяционный многочлен в форме Ньютона по таблице разделенных разностей?

15. Запишите равенство, использующееся при оценке погрешности интерполирования функции многочленом степени в точке .

16. Дать определение обобщенного многочлена.

17. Сформулируйте задачу о наилучшем приближении функции по известной таблице значений.

18. В чем заключается простейший подход к решению линейной задачи метода наименьших квадратов?

19. Записать функцию невязки для метода наименьших квадратов.

20. Сформулируйте условие минимума для функции невязки.

21. Сформулировать алгоритм построения многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения первой степени.

22. Сформулировать алгоритм построения многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения второй степени.

23. Каким образом ставится задача построения многочлена наилучшего равномерного приближения?