Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Определение: Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины следующего вида

, ,

,

и т.д. по всей таблице.

Определение: Разностными отношениями (разделенными разностями) второго порядка называются величины следующего вида

, , и т.д.

Аналогичным образом определяются разностные отношения более высоких порядков.

При построении интерполяционного многочлена в форме Ньютона обычно сначала строят таблицу разделенных разностей или разностных отношений, по которой потом строится интерполяционный многочлен

В данной таблице подчеркнутые величины являются опорными, по которым строится интерполяционный многочлен в форме Ньютона

.

Отметим, что интерполяционным многочленом в форме Лагранжа удобно пользоваться при интерполировании нескольких функций по фиксированной системе узлов, а интерполяционным многочленом в форме Ньютона – по меняющейся системе узлов.

Пример 2: Пусть известны значения функции в узлах таблицы

	0.1264	0.3487	0.6481	0.4398	0.4643

Требуется вычислить значение функции в точке , используя многочлены Ньютона 1, 2 и 3 степени. Оценить погрешность интерполирования. Провести сравнение с многочленами Лагранжа соответствующих степеней.

Решение: Занумеруем узлы таблицы в порядке возрастания расстояния до точки , т.е. в следующем порядке: , , , , . Для построения интерполяционного многочлена в форме Ньютона сначала составим таблицу разделенных разностей или разностных отношений:

		0.4398
		0.6481	-0.2083
		0.4643	-0.0919	0.1164
		0.3487	0.0385	-0.1304	0.1234
		0.1264	0.2223	-0.0460	-0.0422

Построим интерполяционные многочлены в форме Ньютона, которые запишем в канонической форме:

,

,

Следует обратить внимание, что погрешность при округлении может давать незначительные расхождения в коэффициентах интерполяционных многочленов в форме Лагранжа и Ньютона, начиная с третьей степени (в данном примере, так как вычисления осуществлялись с точностью до четырех знаков).

Вычисления в точке дают следующие результаты:

, , , .